A P. 4931. feladat (2017. április)

P. 4931. Egy hőszigetelő falú, vízszintes hengerben könnyen mozgó, hőáteresztő dugattyú két azonos anyagú, de különböző nyomású és hőmérsékletű gázt választ el. A dugattyú kezdetben rögzített, majd a rögzítést kioldjuk. Milyen kezdeti feltételek esetén lehetséges, hogy az egyensúly beállta után a dugattyú nem azon az oldalon állapodik meg, ahol eredetileg a kisebb nyomású gáz volt, hanem a másik oldalon?

Közli: Vass Miklós, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A gázok kezdeti állapotjelzői legyenek \(\displaystyle (p_1, V_1, T_1)\) és \(\displaystyle (p_2, V_2, T_2)\), az egyensúly beállta után pedig \(\displaystyle (p, V_1-\Delta V,T)\) illetve \(\displaystyle (p, V_2+\Delta V,T)\).

Legyen \(\displaystyle p_2<p_1\), és a feladat kérdése: lehetséges-e, hogy \(\displaystyle \Delta V>0\)?

Az állapotegyenletek:

\(\displaystyle \frac{p_1}{T_1}V_1= \frac{p }{T }(V_1-\Delta V),\qquad \frac{p_2}{T_2}V_2= \frac{p }{T }(V_2+\Delta V).\)

A két egyenlet hányadosából:

\(\displaystyle \frac{p_1}{T_1}\cdot \frac{T_2}{p_2}=\frac{1-\frac{\Delta V}{V_1}}{1+\frac{\Delta V}{V_2}}<1.\)

Látható, hogy \(\displaystyle \Delta V>0\) akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{p_1}{T_1}<\frac{p_2}{T_2},\)

ez pedig még \(\displaystyle p_1>p_2\) esetén is fennállhat. Mivel

\(\displaystyle \frac{p}{T}=R\frac{n}{V}\)

(\(\displaystyle n\) a mólszám), azt is mondhatjuk, hogy a dugattyú az egyensúly beálltáig nem feltétlenül a kisebb nyomású rész felé, hanem arrafelé mozdul el, amerre kezdetben kisebb volt az \(\displaystyle n/V\) mólsűrűség.

A megoldás során nem használtuk ki azt a tényt, hogy a henger fala hőszigetelő, vagyis az egész rendszer belső energiája nem változik meg. Ennek segítségével kiszámíthatjuk a kialakuló egyensúlyi nyomást:

\(\displaystyle p=\frac{p_1V_1+p_2V_2}{V_1+V_2}\)

és az egyensúlyi hőmérsékletet is (de ezeket nem kérdezte a feladat).

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bukor Benedek, Édes Lili, Fehérkuti Anna, Keltai Dóra, Kolontári Péter, Kozák András, Krasznai Anna, Markó Gábor, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Turcsányi Ádám, Weisz Máté.
3 pontot kapott:	Bartók Imre, Fekete Balázs Attila, Póta Balázs, Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi fizika feladatai