 |
A P. 4936. feladat (2017. április) |
P. 4936. Egy szabad, álló neutron bomlásakor mekkora lehet az elektron legnagyobb mozgási energiája?
Közli: Légrádi Imre, Sopron
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A neutron bomlásakor a protonon és az elektronon kívül még egy(anti)neutrínó is keletkezik. Az elektron energiája akkor maximális, amikor a neutrínó energiája (és ezzel együtt az impulzusa is) gyakorlatilag nulla, vagyis a bomlás olyan, mintha a neutrínó nem is venne részt benne.
A folyamatban szereplő részecskék (nyugalmi) tömege:
\(\displaystyle m_{\rm n}=939{,}565~{\rm MeV}/c^2, \qquad m_{\rm p}=938{,}272~{\rm MeV}/c^2, \qquad m_{\rm e}=0{,}511~{\rm MeV}/c^2.\)
Jelöljük a bomlásban keletkező elektron impulzusát \(\displaystyle p\)-vel, teljes energiáját pedig \(\displaystyle E\)-vel! (A klasszikus, newtoni fizikában az impulzust (lendületet) általában \(\displaystyle I\)-vel jelölik, az atom- és magfizikában azonban a \(\displaystyle p\) jelölés is elterjedt.) A relativisztikus energia-impulzus összefüggés szerint az elektron összenergiája
\(\displaystyle E=\sqrt{m_{\rm e}^2c^4+p^2c^2}.\)
A proton ugyancsak \(\displaystyle p\) nagyságú impulzussal keletkezik (hiszen a neutron állt), így az összenergiája:
\(\displaystyle E_{\rm p}=\sqrt{m_{\rm p}^2c^4+p^2c^2},\)
a neutron energiája pedig a bomlás előtt \(\displaystyle E_{\rm n}=m_{\rm n}c^2\) volt. Az energiamegmaradás szerint \(\displaystyle E_\text n=E_\text e+E_\text p\), amiből a fenti képletekkel (\(\displaystyle p\) kiküszöbölése után) az elektron összenergiája kiszámítható:
\(\displaystyle E=\frac{m_{\rm n}^2+m_{\rm e}^2-m_{\rm p}^2}{2m_{\rm n}}\,c^2=1{,}29~{\rm MeV}.\)
A kérdezett mozgási energia ezek szerint
\(\displaystyle E_\text{mozgási}=E-m_{\rm e}c^2=0{,}78~{\rm MeV}.\)
(Ez az energia nagyobb, mint az elektron nyugalmi energiája, tehát indokolt volt a relativisztikus képletek használata.)
Statisztika:
33 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Jakus Balázs István, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Papp 121 Krisztina, Varga-Umbrich Eszter. 4 pontot kapott: Csuha Boglárka, Illés Gergely, Illyés András, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. áprilisi fizika feladatai