A P. 4945. feladat (2017. május)

P. 4945. Szabad, állónak tekinthető neutronok bomlásakor három részecske keletkezik: egy proton, egy elektron és egy antineutrínó. A keletkező elektron energiája bizonyos határok között bármilyen értéket felvehet (az energiaspektrum folytonos). Előfordul, hogy a bomlás során elhanyagolhatóan kicsi mozgási energiájú elektron jön létre. Mekkora ezen esetben a keletkező proton sebessége? (Az antineutrínó nyugalmi tömege nullának tekinthető.)

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A folyamatban részt vevő részecskék (nyugalmi) tömege táblázati adatok szerint a következő:

a neutron tömege \(\displaystyle m_{\rm n}=939{,}6~\frac{\rm MeV}{c^2},\)

a proton tömege \(\displaystyle m_{\rm p}=938{,}3~\frac{\rm MeV}{c^2},\)

az elektron tömege \(\displaystyle m_{\rm e}=0{,}5~\frac{\rm MeV}{c^2}.\)

Ha egy \(\displaystyle m\) tömegű részecske impulzusa \(\displaystyle p\), akkor a teljes relativisztikus energiája

\(\displaystyle E=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}.\)

Ha az álló neutron bomlásakor keletkező elektron mozgási energiája nagyon kicsi, akkor az impulzusmegmaradás törvénye úgy teljesül, hogy a proton és az antineutrínó ugyanakkora \(\displaystyle (p)\) nagyságú, de ellentétes irányú impulzussal keletkezik. Az energiamegmaradás törvénye szerint:

\(\displaystyle m_{\rm n}c^2=m_{\rm e}c^2+pc+\sqrt{(m_{\rm p}c^2)^2+(pc)^2},\)

ahonnan a proton impulzusa kifejezhető:

\(\displaystyle p=\frac{\left(m_{\rm n}-m_{\rm p}-m_{\rm e}\right)\left(m_{\rm n}+m_{\rm p}-m_{\rm e}\right)}{2\left(m_{\rm n}-m_{\rm e}\right)}\,c= ~0{,}8\frac{\rm MeV}{c}.\)

A proton sebessége:

\(\displaystyle v=\frac{p}{\sqrt{m_{\rm p}^2+ (p/c)^2}}\approx \frac{p}{m_{\rm p}}= \frac{0{,}8~{\rm MeV}/c}{938{,}3~{\rm MeV}/c^2}=8{,}5\cdot10^{-4}c=2{,}5\cdot10^{5}~\frac{\rm m}{\rm s}.\)

Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az energiamegmaradás törvényét a proton nemrelativisztikus mozgási energiájával írjuk fel, de ennek jogosságát csak utólag látjuk igazoltnak.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balaskó Dominik, Bartók Imre, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Kolontári Péter, Krasznai Anna, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Pszota Máté, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:	Fajszi Bulcsú, Morvai Orsolya, Németh 123 Balázs, Páhoki Tamás.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. májusi fizika feladatai