 |
A P. 4947. feladat (2017. május) |
P. 4947. Egy részecskegyorsítóban \(\displaystyle M\) tömegű nyugvó részecskékkel különböző tömegű és különböző (a fénysebességgel összemérhető) sebességű testek ütköznek. Az ütközések mindegyik esetben centrálisak, egyenesek és tökéletesen rugalmasak.
\(\displaystyle a)\) Adjuk meg a kezdetben álló részecskének átadott \(\displaystyle W\) energiát a nekiütköző másik részecske \(\displaystyle E_{\rm m}\) mozgási energiájának és \(\displaystyle I\) impulzusának függvényében!
\(\displaystyle b)\) Ábrázoljuk vázlatosan a \(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)\) függvényt rögzített \(\displaystyle I=I_0\) impulzus, illetve rögzített \(\displaystyle E_{\rm m}=E_0\) mozgási energia esetén!
\(\displaystyle c)\) Vizsgáljuk meg a nemrelativisztikus, illetve az ultrarelativisztikus határeseteket!
(Lásd a P. 4893. feladat megoldását lapunk 307. oldalán.)
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A relativisztikus energia- és impulzusmegmaradás törvényét alkalmazva az átadott energiára a
\(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)=\frac{8MI^2E_{\rm m}^2}{ \left(\left[I+\frac{E_{\rm m}}{c}\right]^2+2ME_{\rm m}\right)\left(\left[I-\frac{E_{\rm m}}{c}\right]^2+2ME_{\rm m}\right)} \)
kifejezés adódik, ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban. Mivel a ütköző részecske tömege
\(\displaystyle m=\frac{(Ic)^2-E_{\rm m}^2}{2E_{\rm m}c^2}\ge0,\)
a \(\displaystyle W(E_{\rm m}, I)\) függvény fizikailag értelmes értelmezési tartománya: \(\displaystyle 0<E_{\rm m}\le (Ic).\)
\(\displaystyle b)\) Az ábrák jellege hasonló a P. 4893. feladat megoldásánál közöltekkel.
\(\displaystyle c)\) Nemrelativisztikus (NR) határesetben, amikor mind a bejövő, mind a meglökött részecske sebessége \(\displaystyle c\)-nél sokkal kisebb,
\(\displaystyle W\approx W_{(NR)}=\frac{8MI^2E_{\rm m}^2}{\left( I^2+2ME_{\rm m}\right)^2}, \)
amint ezt a P. 4893. feladatban már megkaptuk.
Ultrarelativisztikus (UR) határesetben, amikor \(\displaystyle E_{\rm m} \approx Ic\), vagyis \(\displaystyle m\approx 0\), és ami ezzel együtt jár, a bejövő részecske sebessége \(\displaystyle v\approx c\), az átadott energia:
\(\displaystyle W\approx W_{(UR)}=\frac{E_{\rm m}^2}{E_{\rm m}+\frac{1}{2}Mc^2}.\)
A továbbiakban két esetet különböztethetünk meg:
\(\displaystyle (i)\) Ha \(\displaystyle E_{\rm m}\approx Ic\ll Mc^2,\) akkor a meglökött részecske (test) mozgása nemrelativisztikus, jóllehet egy ultrarelativisztikus (majdnem vagy pontosan fénysebességgel mozgó) részecske lökte meg. Ilyenkor az átadott energia:
\(\displaystyle W_{(UR-NR)}=\frac{2E_{\rm m}^2} { Mc^2}=\frac{2I^2}{M}.\)
Ez az eset valósul meg például akkor, amikor egy \(\displaystyle I\) impulzusú foton esik egy \(\displaystyle M\) tömegű ,,nehéz tükörre''. A foton visszaverődik, lendületváltozása jó közelítéssel \(\displaystyle 2I,\) a meglökött tükör impulzusa is \(\displaystyle 2I\), mozgási energiája pedig \(\displaystyle W=(2I)^2((2M)=2I^2/M\) lesz.
\(\displaystyle (ii)\) Ha \(\displaystyle E_{\rm m}\approx Ic\gg Mc^2,\) ilyenkor a meglökött részecske is fénysebességhez közeli sebességre gyorsul, az átadott energia
\(\displaystyle W\approx W_{(UR-UR)}=E_{\rm m},\)
vagyis a bejövő részecske mozgási energiája teljes egészében átadódik a meglökött részecskének.
A nemrelativisztikus ütközésekhez hasonlóan, ha teljesül, hogy
\(\displaystyle m=\frac{(Ic)^2-E_{\rm m}^2}{2E_{\rm m}c^2}=M,\)
akkor \(\displaystyle W=E_{\rm m},\) és ez nemcsak a határesetekben, hanem tetszőleges ,,közbenső'' energiáknál is fennáll.
Statisztika:
3 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bekes Nándor. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. májusi fizika feladatai