A P. 4948. feladat (2017. május)

P. 4948. Egyforma keresztmetszetű és azonos anyagi minőségű két hengeres rúd a közös szimmetriatengelyük mentén mozogva összeütközik. A rudak hossza \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\), a sebességük \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\), az ütközés egyenes és centrális. A rudak rugalmasak, a bennük kialakuló feszültségekre és deformációkra minden pillanatban és mindenhol a Hooke-törvény érvényes. Mekkora az ütközési szám ennél az ütközésnél?

(Lásd a Rugalmas testek ütközése című cikket lapunk 298. oldalán.)

Szegedi Ervin (1957–2006) feladata

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az ütközési szám az ütköző testek relatív sebességének megváltozási arányszáma:

\(\displaystyle k=\frac{v_1^\text{(ütközés után)}-v_2^\text{(ütközés után)}}{v_1^\text{(ütközés elött)}-v_2^\text{(ütközés elött)}}.\)

Ezt a kifejezést nemcsak a tömegközépponti koordináta-rendszerben, hanem tetszőlegesen mozgó vonatkoztatási rendszerben kiszámíthatjuk, mert a sebességek különbsége nem függ a koordináta-rendszer választásától.

Üljünk bele abba a koordináta-rendszerbe, amelyik a két rúd átlagsebességével, \(\displaystyle (v_1+v_2)/2\)-vel mozog. Innen szemlélve a két rúd sebessége

\(\displaystyle v_1-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{v_1-v_2}{2}=v^*, \qquad \text{illetve}\qquad v_2-\frac{v_1+v_2}{2}=\frac{v_2-v_1}{2}=-v^*.\)

Irányítsuk a koordináta-rendszer pozitív tengelyét jobbra, és legyen a bal oldali rúd sebessége a nagyobb; ekkor \(\displaystyle v^*>0\), és a rudak ténylegesen összeütköznek. Tegyük fel, hogy a bal oldali rúd a rövidebb (\(\displaystyle \ell_1<\ell_2\)). (A fordított helyzet hasonló módon tárgyalható.)

Az egyenlő nagyságú sebességgel mozgó rudak egymáshoz csapódnak, és az érinkező felületük megáll. Ez – a szimmetria miatt – nyilvánvaló lenne akkor, ha a rudak hossza megegyezne. De a különböző hosszúságú rudaknál is ennek kell bekövetkeznie, hiszen az ütközési felület környéke csak akkor szerez tudomást arról, hogy mekkora a rudak hossza, amikor a \(\displaystyle c\) sebességgel terjedő sűrűsödési lökéshullám eléri a rudak túlsó végét, visszaverődik onnan, majd visszaérkezik az ütközési felülethez.

A rövidebb rúd válik el elsőként, az ütközés kezdete után \(\displaystyle 2\ell_1/c\) idő múlva az álló érintkezési felülettől, és elindul bal felé \(\displaystyle -v^*\) sebességgel. Ugyanekkor a másik rúd – amelyben még vannak összenyomódott részek, és az egyik darabja még áll, más részei pedig már mozognak – valamekkora \(\displaystyle u^*\) tömegközépponti sebességgel rendelkezik. Ez a sebesség a lendületmegmaradás törvénye segítségével határozható meg. Mivel a rudak keresztmetszete és sűrűsége is megegyezik, a tömegük a hosszukkal arányos. A lendületmegmaradás törvénye tehát így írható:

\(\displaystyle \ell_1 v^*-\ell_2 v^*=\ell_1(- v^*)+\ell_2 u^*.\)

Innen

\(\displaystyle u^*=\frac{2\ell_1-\ell_2}{\ell_2}v^*.\)

Az ütközési szám a relatív sebességek csökkenési arányszáma:

\(\displaystyle k=\frac{u^*-(-v^*)}{v^*-(-v^*)}=\frac{\left(\frac{2\ell_1}{\ell_1}-1\right)v^*+v^*}{2v^*}=\frac{\ell_1}{\ell_2} \le 1. \)

Megjegyzés. Szegedi Ervin légpárnás asztalon végzett mérései megerősítik a cikkben, illetve ebben a feladatban leírt közelítések jogosságát. Az ütközési együttható mért értékei jó közelítéssel a rudak hosszának arányával egyeztek meg, eltérést csak az \(\displaystyle \ell_1=\ell_2\) esetben tapasztalt. Ez az eltérés érthető, hiszen az egyforma hosszú rudaknál az ütközés (a modell szerint) tökéletesen rugalmas kellett volna legyen, ami a mechanikai energia nulla veszteségét jelenti. A valóságban természetesen vannak egyéb, a modelben figyelmen kívül hagyott veszteségek, amik a ,,nulla'' mellett biztosan nem hanyagolhatók el. Amikor például két golyó ütközik, az érintkezési felületük nagyon kicsi, tehát az ütközés pillanataiban fellépő feszültségek nagyon nagyok lesznek. Ilyen körülmények között a deformáció és a feszültségek kapcsolata már nem lesz lineáris (nem marad érvényben a Hooke-törvény), és az energiadisszipáció (hőfejlődés) vélhetően már az ütközés kezdeti szakaszában is megjelenik.

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám.
5 pontot kapott:	Páhoki Tamás.

A KöMaL 2017. májusi fizika feladatai