A P. 4965. feladat (2017. október)

P. 4965. Egy hajlékony, könnyen csúszó gyöngysornak éppen a fele egy vízszintes asztallapon fekszik, a másik fele függőlegesen lóg lefelé az asztal szélénél. Ha a gyöngysort kezdősebesség nélkül elengedjük, az – egyre gyorsabban mozogva – lecsúszik az asztalról. A gyöngysor bizonyos helyzetében az asztal szélén a gyöngyök nem hirtelen kanyarodnak be, hanem túlszaladnak az asztal szélén, és a lelógó részen ostorszerű hullámzás indul el. A gyöngysor hosszának hányad része van még az asztalon, amikor ez a hullámosodás beindul?

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az energiamegmaradás törvénye szerint abban a helyzetben, amikor az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú gyöngysor \(\displaystyle x\ell\) hosszú darabja (\(\displaystyle \tfrac12>x>0\)) még a vízszintes asztallapon van, a többi (tehát \(\displaystyle \ell-x\ell\) hosszúságú) része pedig függőleges, a gyöngysor minden darabkájának sebessége \(\displaystyle \sqrt{4x^2-8x+3}\)-mal arányos, a vízszintes darab lendülete pedig az \(\displaystyle x\sqrt{4x^2-8x+3}\) kifejezéssel arányos. Ez a lendület \(\displaystyle x\) csökkenésével kezdetben növekszik, ezt a lánc többi részének húzóereje okozza. Egy bizonyos \(\displaystyle x_0\)-tól kezdve azonban a lendület csökkenő \(\displaystyle x\)-ekre csökkenni kezdene, ez azonban csak úgy következhet be, ha az addig függőleges gyöngysordarab hullámossá válik és ,,visszafelé'' ható erőt is ki tud fejteni. A hullámzás kezdetét a vízszintes irányú lendület szélsőértéke (maximuma) határozza meg. Ezt numerikus vagy grafikus módszerrel, illetve differenciálszámítással határozhatjuk meg. A szélsőérték helye:

\(\displaystyle x_0=\frac{3-\sqrt{3}}{4}\approx 0{,}317,\)

tehát a hullámosodás akkor indul be, amikor a gyöngysornak mintegy 32 százaléka van még az asztalon.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartók Imre, Csire Roland, Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. októberi fizika feladatai