A P. 4987. feladat (2017. december)

P. 4987. Homogén mágneses mezőben az \(\displaystyle R\) sugarú, \(\displaystyle A\) keresztmetszetű réz körvezető által körülvett mágneses fluxus időben \(\displaystyle \Phi(t)=\Phi_0+kt\) függvény szerint változik. (A mágneses indukció merőleges a körvezető síkjára.)

Mekkora rugalmas feszültség keletkezik a körvezetőben a \(\displaystyle t_0\) időpillanatban?

Adatok: \(\displaystyle R=10\) cm, \(\displaystyle A=0{,}5~\rm mm^2\), \(\displaystyle \Phi_0=0{,}04\) Vs, \(\displaystyle k=5\) mV, \(\displaystyle t_0=2\) s.

Közli: Holics László, Budapest

Megjegyzés. A feladat angol szövege kicsit eltér a magyartól, annak kibővített, javított változata. A javítás a magyar szövegből sajnos lemaradt. A feladat bármelyik változatának teljes értékű megoldása a maximális pontszámot kapja.

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A körvezetőben a változó mágneses fluxus miatt feszültség indukálódik:

\(\displaystyle U=\frac{\Delta \Phi(t)}{\Delta t}=-k.\)

Ez az állandó feszültség egyenáramot indít el a körvezetőben, annak erőssége

\(\displaystyle I=\frac{U}{2R\pi \varrho}A,\)

ahol \(\displaystyle \varrho=1{,}7\cdot10^{-8}\,\Omega\,\rm m\) a réz fajlagos ellenállása. A megadott \(\displaystyle t_0\) pillanatban a mágneses indukció erőssége:

\(\displaystyle B(t_0)=\frac {\Phi(t_0)}{R^2\pi}=\frac {\Phi_0+kt_0 }{R^2\pi},\)

ami a körvezető egyes (\(\displaystyle \Delta \ell\) hosszúságú) darabjaira \(\displaystyle BI\Delta\ell\) nagyságú Lorentz-erőt fejt ki.

Tekintsük a körvezető egyik felére (félkörére) ható Lorentz-erők eredőjét. Ha a félkört az átmérője mentén zárt hurokká egészítenénk ki, az egész hurokra ható erő nyilván nulla lenne. A félkörívre tahát összesen

\(\displaystyle F=B(t_0)I2R\)

nagyságú mágneses erő hat, amivel a félkör végpontjainál ható (a \(\displaystyle \sigma\) rugalmas feszültségből származó) \(\displaystyle 2\sigma A\) erő tart egyensúlyt. Innen a keresett rugalmas feszültség nagysága:

\(\displaystyle \sigma=\left\vert \frac{B(t_0)I2R}{2A}\right\vert=\frac{\left(\Phi_0+kt_0\right)k }{2\pi^2\varrho R^2}\approx 7{,}5\cdot10^4~{\rm Pa}=0{,}075 ~\frac{\rm N}{\rm mm^2}.\)

Amennyiben a mágneses tér erősségének nagysága növekszik (esetünkben ez a helyzet), akkor – mint az a jobbkéz-szabály többszöri alkalmazásával belátható – a vezetőben rugalmas nyomófeszültség alakul ki.

Megjegyzések. 1. Az \(\displaystyle A\) keresztmetszet kiesett a mechanikai feszültség végképletből. Ez várható volt, hiszen ha egymás közelében két egyforma körvezetőt helyezünk el a mágneses térben, mindegyikükben ugyanakkora \(\displaystyle \sigma\) rugalmas feszültség jön létre, jóllehet az együttes keresztmetszetük kétszer akkora, mint az egyes körvezetőké.

2. Az \(\displaystyle A\) keresztmetszetből kiszámítható a vezeték sugara, és abból a vezetékben folyó áram által létrehozott mágneses indukció nagysága. Ez még a vezeték közvetlen közelében is sokkal kisebb, mint a külső mágneses tér indukciója, tehát jogosan hanyagoltuk el a vezeték saját mágneses terét a számolásban.

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartók Imre, Berke Martin, Csire Roland, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Kolontári Péter, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:	Békési Ábel, Bíró Dániel, Csuha Boglárka, Fajszi Bulcsú, Mamuzsics Gergő Bence, Olosz Adél, Szakály Marcell, Turcsányi Ádám.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2017. decemberi fizika feladatai