 |
A P. 4989. feladat (2017. december) |
P. 4989. Az \(\displaystyle \alpha\)-bomló \(\displaystyle {}^{235}\)U izotópok felezési ideje 704 millió év. A bomlás mellett spontán hasadások is bekövetkezhetnek (ekkor nagyobb tömegű magtöredékek keletkeznek). Másodpercenként átlagosan 0,0056 hasadás történik 1 kg 235-ös uránban.
\(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle {}^{235}\)U atommagok hány százaléka alakul át spontán hasadással?
\(\displaystyle b)\) Mennyi lenne a \(\displaystyle {}^{235}\)U felezési ideje, ha csak spontán hasadások történnének?
Közli: Vass Miklós, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) 1 kg urán \(\displaystyle n=\frac{1000}{235}=4{,}25\) mólnyi mennyiség, ebben \(\displaystyle N=nN_{\rm A}=2{,}4\cdot10^{24}\) uránatom található. Az \(\displaystyle \alpha\)-bomlással másodpercenként elbomló atommagok száma a felezési időből számítható ki:
\(\displaystyle - \Delta N(t) =N\lambda=N\frac{\ln 2}{T_{1/2}}\cdot 1~{\rm s}=2{,}4\cdot10^{24}\,\frac{0{,}7\cdot 1~{\rm s}}{7{,}04\cdot10^8~\text{év}}= 7{,}6\cdot 10^7.\)
A spontán hasadások száma az \(\displaystyle \alpha\)-bomlások számának mindössze
\(\displaystyle \frac{0,0056}{7{,}6\cdot 10^7}=7{,}4\cdot10^{-11}=0{,}000\,000\,007~\text{százaléka}.\)
\(\displaystyle b)\) A spontán hasadásokból származó folyamatnak megfelelő felezési idő annyiszor hosszabb, mint az \(\displaystyle \alpha\)-bomlásokhoz tartozó felezési idő, ahányszor kevesebb spontán hasadás történik időegységenként, mint \(\displaystyle \alpha\)-bomlás. Eszerint
\(\displaystyle T_{1/2}^\text{hasadás}=\frac{7{,}04\cdot10^8~\text{év}}{7{,}4\cdot10^{-11} }\approx 10^{19}~\text{év}. \)
Ez az idő milliárdszorosa az Univerzum életkorának, ami azt mutatja, hogy ha csak spontán hasadások mennének végbe, akkor a \(\displaystyle ^{235}\)U-t gyakorlatilag stabil izotópnak tekinthetnénk.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Balaskó Dominik, Boros Máté, Csire Roland, Csuha Boglárka, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Geretovszky Anna, Hajnal Dániel Konrád, Jáger Balázs, Kolontári Péter, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Markó Gábor, Ónodi Gergely, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Sas 202 Mór, Selmi Bálint, Tafferner Zoltán, Turcsányi Ádám. 3 pontot kapott: Fajszi Bulcsú, Magyar Máté, Makovsky Mihály, Morvai Orsolya, Pszota Máté, Shirsha Bose. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. decemberi fizika feladatai