A P. 4991. feladat (2018. január)

P. 4991. Egy állványon függő csavarrugóra egymás alá két, fonállal összekötött, összesen 4 kg tömegű testet erősítettünk az ábra szerint. Ha az alsó test leesik, a rugón maradó rezgőmozgásba jön. Ha a két testet felcseréljük, és ezután esik le az alsó test, a felső ismét rezegni fog. A két rezgésidő különbsége 0,3 s. Mekkora a két test tömege külön-külön, ha együtt a rugón 1,5 s periódusidejű rezgést végeznek?

Közli: Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az egyik test tömege \(\displaystyle xM\), a másiké \(\displaystyle (1-x)M\), a két test össztömege pedig \(\displaystyle M=4\) kg. A rezgésidő a tömeg négyzetgyökével arányos, így fennáll:

\(\displaystyle \sqrt{x}-\sqrt{1-x}=\frac{0{,}3}{1{,}5}.\)

Négyzetre emelve mindkét oldalt:

\(\displaystyle x+(1-x)-2\sqrt{x(1-x)}=\frac{1}{25},\)

vagyis

\(\displaystyle \sqrt{x(1-x)}= \frac{12}{25}.\)

Ismét négyzetre emelve, majd a másodfokú egyenletet megoldva \(\displaystyle x_1=\frac{16}{25}\) és \(\displaystyle x_2=\frac{9}{25}\), vagyis a keresett tömegekre \(\displaystyle m_1=2{,}56\) kg és \(\displaystyle m_1=1{,}44\) kg adódik.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	70 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. januári fizika feladatai