 |
A P. 4993. feladat (2018. január) |
P. 4993. A Calais-t Doverrel összekötő ,,Csalagút'' hossza 55 km, ennek mintegy 38 km-es szakasza halad a La Manche csatorna alatt. Képzeljünk el a 6371 km sugarú, tökéletesen gömb alakú Földön egy 40 km hosszú, nyílegyenes vasúti alagutat a tenger szintje alatt, amelynek tenger alatti eleje és vége felett 20 méter magasan áll a víz.
\(\displaystyle a)\) Milyen magasan áll a víz ennek az alagútnak a közepe felett?
\(\displaystyle b)\) Ha ebben a vasúti alagútban nem lenne levegő, és eltekinthetnénk a súrlódástól is, mennyi idő alatt haladna át rajta az alagút egyik végéről nyugalmi helyzetből induló vagon csupán a Föld gravitációs vonzóerejének hatására?
\(\displaystyle c)\) Mekkora sebességgel száguldana át ez a vagon az alagút közepén?
Közli: Radnai Gyula, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú nyílegyenes alagút közepe és a vége közötti magasságkülönbség az \(\displaystyle R\gg\ell\) sugarú Föld felszínének közelében (a Pitagorasz-tétel szerint)
\(\displaystyle \Delta h=R-\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}.\)
Ezt az értéket konkrét számadatok mellett közvetlenül kiszámíthatjuk (az eredmény 0,0314 km), de egy azonos átalakítás felhasználásával paraméteresen is megadhatjuk:
\(\displaystyle \Delta h= \frac {\left(R-\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}\right) \left(R+\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}\right)} {{R+\sqrt{R^2-(\ell/2)^2}}}\approx \frac{\ell^2}{8R}=\frac{40^2}{8\cdot 6371}~\rm km=31~\rm m. \)
(A nevezőben szereplő gyökös kifejezést \(\displaystyle R\)-rel közelítettük.)
Az elképzelt alagút közepe felett tehát összesen 51 méter magasan áll a víz.
\(\displaystyle b)\) Az alagút közepétől \(\displaystyle x\) távolságban az alagút egyenese helyről helyre változó \(\displaystyle \alpha\) szöggel tér el a ,,helyi függőlegestől'', és jó közelítéssel teljesül, hogy \(\displaystyle \sin\alpha=x/R\). Ugyancsak jó közelítéssel állíthatjuk, hogy a nehézségi gyorsulás a Föld felszínének közelében állandónak, \(\displaystyle g= 9{,}81~\rm m/s^2\) nagyságúnak vehető. Ebben a közelítésben a (mozdony nélkül, szabadon guruló) vagon mozgásegyenlete:
\(\displaystyle a=-g\sin\alpha=-\frac{g}{R}x \equiv-\omega^2 x.\)
Ez egy olyan harmonikus rezgőmozgás egyenlete, amelynek periódusideje:
\(\displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}\approx 84~\text{perc}.\)
A kezdősebesség nélkül induló vagon egy fél periódusidő, vagyis 42 perc alatt teszi meg az utat az alagút egyik végétől a másikig.
\(\displaystyle c)\) Az alagút közepén a sebesség (az \(\displaystyle \ell/2\) amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás maximális sebessége):
\(\displaystyle v_\text{max}=\frac{\ell}{2}\omega=\frac{\ell}{2} \sqrt{\frac{g}{R}}=24{,}8~\frac{\rm m}{\rm s}=89{,}3~\frac{\rm km}{\rm h}.\)
Ugyanezt az eredményt a munkatételből is megkaphatjuk:
\(\displaystyle \frac12mv_\text{max}^2=mg\Delta h=\frac{mg\ell^2}{8R},\qquad \text{vagyis} \qquad v_\text{max}=\frac{\ell}{2} \sqrt{\frac{g}{R}}.\)
Megjegyzés. Ha az elképzelt Földről azt is feltesszük, hogy a tömegeloszlása homogén, akkor belátható, hogy az egyenes pályán való (súrlódás- és közegellenállás-mentes) mozgás tetszőlegesen hosszú alagútban harmonikus rezgőmozgás, amelynek periódusideje az alagút hosszától függetlenül minden esetben 84 perc.
Statisztika:
69 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Békési Ábel, Boros Máté, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csire Roland, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács Gergely Balázs, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Pszota Máté, Schrott Márton, Tafferner Zoltán. 4 pontot kapott: Balaskó Dominik, Beke Csongor, Berke Martin, Fajszi Bulcsú, Lipták Gergő, Póta Balázs, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Turcsányi Máté, Vígh Márton. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2018. januári fizika feladatai