 |
A P. 4997. feladat (2018. január) |
P. 4997. Vízszintes síkban elhelyezkedő, \(\displaystyle R\) sugarú félkörön súrlódásmentesen mozoghat egy pontszerű, \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle q\) töltésű gyöngy. A félkör végpontjaiban egy-egy \(\displaystyle Q\) töltésű, rögzített, pontszerű test található. Az így kialakított rendszer egyensúlyban van. Mekkora lesz a rezgésidő, ha a gyöngyöt kissé kimozdítjuk egyensúlyi helyzetéből, majd magára hagyjuk?
Közli: Németh László, Fonyód
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A gyöngy a félkörív felezőpontjában, a rögzített ponttöltésektől egyenlő távolságban lehet egyensúlyban. Térítsük ki a gyöngyöt ebből az egyensúlyi helyzetből egy kicsiny, a félkörív mentén mért \(\displaystyle s\) elmozdulással (\(\displaystyle s\ll R\)), és jelöljük a félkörív középpontjához húzott sugár szögének elfordulását \(\displaystyle 2\varphi\)-vel (\(\displaystyle \varphi\ll 1)\). Az elmozdulás és a szögelfordulás közötti kapcsolat: \(\displaystyle s=2R\varphi\).
Számítsuk ki a kicsit kimozdított gyöngyre ható eredő erő érintő irányú komponensét! A Coulomb-törvény szerint (az ábrán jelölt távolságok és szögek ismeretében)
\(\displaystyle F(s)=k\frac{qQ}{4R^2}\left[ \frac{\cos(45^\circ+\varphi)}{\sin^2(45^\circ+\varphi)}-\frac{\cos(45^\circ-\varphi)}{\sin^2(45^\circ-\varphi)} \right].\)
A szögletes zárójelben álló kifejezés az addíciós tételek szerint így írható:
\(\displaystyle [\ldots]=-\sqrt{2}\frac{6\cos^2\varphi\sin\varphi+2\sin^3\varphi}{\left(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\right)^2},\)
ami \(\displaystyle \varphi\ll 1\) miatt (\(\displaystyle \cos\varphi\approx 1\) és \(\displaystyle \sin\varphi\approx \varphi\) közelítésekkel, valamint a \(\displaystyle \varphi\) szög 1-nél magasabb kitevőjű hatványainak elhanyagolásával) a következő egyszerű alakot ölti:
\(\displaystyle [\ldots]\approx -6\sqrt{2}\, \varphi.\)
A gyöngyszemet visszahúzó eredő erő tehát
\(\displaystyle F(s)=-D\,s,\qquad \text{ahol} \qquad D= \frac{3kqQ}{\sqrt{8}R^3}.\)
Ez megegyezik egy \(\displaystyle D\) direkciós erejű rugó által kifejtett erővel, a gyöngyszem mozgása tehát harmonikus rezgőmozgás lesz
\(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{\sqrt{8}mR^3}{3kqQ}}\)
periódusidővel.
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Elek Péter, Kozák András, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Takács Árpád. 4 pontot kapott: Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Jánosik Áron, Magyar Róbert Attila, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Póta Balázs, Sal Dávid, Surján Botond. 3 pontot kapott: 6 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2018. januári fizika feladatai