 |
A P. 4998. feladat (2018. január) |
P. 4998. Egy gömb alakú vízcseppre érkező fénysugár az ábrán látható módon három belső visszaverődés után az eredeti irányban halad tovább. Mekkora beesési szöggel lépett be a fénysugár a vízcseppbe? (A víz törésmutatója \(\displaystyle n=4/3\).)
Közli: Cserti József, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. február 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a vízsugár beesési szöge \(\displaystyle \alpha\), törési szöge \(\displaystyle \beta\), akkor fennáll: \(\displaystyle \sin\beta=\tfrac34 \sin\alpha\). A fénysugár irányváltozása (az óramutató járásával megegyező irányban) az első törésnél \(\displaystyle \alpha-\beta\), mindegyik belső visszaverődésnél \(\displaystyle 180^\circ-2\beta\), és a vízcseppből való kilépésnél ismét \(\displaystyle \alpha-\beta\). A megadott feltétel szerint a fénysugár egyszer ,,körbefordul'', tehát
\(\displaystyle (\alpha-\beta)+3(180^\circ-2\beta)+(\alpha-\beta)=360^\circ,\)
vagyis
\(\displaystyle 4\beta=\alpha+90^\circ,\)
így
\(\displaystyle \cos(4\beta)=\cos(\alpha+90^\circ)=-\sin\alpha=-\frac43\sin\beta.\)
(Az utolsó lépésnél felhasználtuk a törési törvényt.)
A \(\displaystyle \cos(4\beta)+ \tfrac43\sin\beta=0\) trigonometrikus egyenletet akár egy zsebszámológéppel, próbálgatással is megoldhatjuk. (Figyelembe kell vegyük, hogy \(\displaystyle \sin\beta\le \frac{1}{n}=\frac{3}{4}\), vagyis \(\displaystyle \beta\) legfeljebb \(\displaystyle 48{,}6^\circ\) lehet.) Az eredmény: \(\displaystyle \beta=34{,}9^\circ\), és ennek megfelelően a fénysugár belépési szöge: \(\displaystyle \alpha=49{,}8^\circ\).
Megjegyzés. Ha a háromszor visszaverődő és kétszer megtörő fénysugár irányváltozására nem \(\displaystyle 360^\circ\)-ot, hanem valamekkora más \(\displaystyle \varphi\) szöget írunk elő, akkor bizonyos \(\displaystyle \varphi\) szögekre a feladatnak nincs megoldása. A határeset \(\displaystyle \varphi_0=41{,}4^\circ\), ez a harmadrendű szivárvány látószöge felének felel meg.
Statisztika:
42 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Beke Csongor, Bíró Dániel, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Póta Balázs, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schrott Márton, Surján Botond, Tafferner Zoltán. 4 pontot kapott: Balaskó Dominik, Békési Ábel, Geretovszky Anna, Kozák András, Szakály Marcell. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2018. januári fizika feladatai