A P. 5011. feladat (2018. február)

P. 5011. A fémhúros gitár két legvékonyabb húrja az E és a H nagy szakítószilárdságú acélhuzal. A vékonyabb E húrt túlfeszítjük addig, amíg a G hangmagasságot elérve (egy egész hangközzel a 440 Hz-es normál A alatt) elszakad.

\(\displaystyle a)\) Milyen hangnál szakad el a H húr, ha azt is túlfeszítjük, és ugyanakkora szakítószilárdságú acélból készült?

\(\displaystyle b)\) Mekkora volt az E húr anyagának szakítószilárdsága?

\(\displaystyle c)\) A régóta használt húrok általában az alátámasztásnál vagy a hangolókulcsnál szakadnak el. Miért?

\(\displaystyle d)\) Miből lehetne még hangszerhúrt készíteni? Keressünk megfelelő anyagot a Függvénytáblázatban és az Interneten!

A gitárhúr rezgő részének hossza (menzúrahossz) 64 cm. Az acélhúr anyagának sűrűsége \(\displaystyle 7{,}8 \cdot 10^3~\rm kg/m^3\).

Közli: Vladár Károly, Kiskunhalas

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. március 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle a)\) kérdésre a számadatok és képletek felidézése nélkül is válaszolhatunk. Képzeljük el, hogy a vastagabb húrt úgy készítettük, hogy két vékonyat hosszában egymás mellé ragasztottunk. Ha a két húrt egyformán feszítjük, egyformán rezgetjük, a ragasztást nem terheli semmi, és a vastag húr ugyanannál a hangnál szakad el, mint a két vékony külön-külön. (Ez meglepő, a gitárosok arra tippelnének, hogy a H húr már alacsonyabb hangnál elszakad. A tapasztalat szerint valamennyi használat után minden húr elszakad, de a H húr élettartama sokkal hosszabb; ezzel kapcsolatban lásd a c) kérdésre adott választ.)

A Függvénytáblázat szerint a rezgő húr frekvenciája

\(\displaystyle f=\frac{1}{2\ell}\sqrt{\frac{F}{\varrho A}}= \frac{1}{2\ell}\sqrt{\frac{\sigma}{\varrho}} ,\)

ahol \(\displaystyle \ell\) a húr hossza, \(\displaystyle \varrho\) a húr anyagának sűrűsége, \(\displaystyle F\) a húzóerő, \(\displaystyle A\) a húr keresztmetszete és \(\displaystyle \sigma = F/A\) a rugalmas feszültség. Ebből a rugalmas feszültség:

\(\displaystyle \sigma=4\varrho f^2\ell^2.\)

A szakítószilárdság az a feszültségérték, amelyiknél a húr elszakad. A fenti képlet független a húr keresztmetszetétől, vagyis ebből is az látszik, hogy a vastagabb H húr (ugyanakkora szakítószilárdság esetén) szintén a G hangmagasságnál szakad el.

\(\displaystyle b)\) A G hang frekvenciája

\(\displaystyle 2^{-{ 1\!/6}}\cdot 440~{\rm Hz} = 392~{\rm Hz},\)

az acél sűrűsége (esetünkben) \(\displaystyle \varrho = 7800~{\rm kg/m}^3,\) a keresett szakítószilárdság

\(\displaystyle \sigma_{\rm sz} = 4 \cdot 7800~{\rm kg/m}^3 \cdot \left(392~{\rm s}^{-1}\right)^2 \cdot \left(0{,}64~{\rm m}\right)^2 \approx 2000~{\rm MPa}. \)

\(\displaystyle c)\) Az említett helyeken hangoláskor sokszor szenved alakváltozást a húr, anyaga elfárad, szakítószilárdsága csökken. A jelenség hasonló ahhoz, mint amikor sokszor hajlítgatva eltörünk egy fémhuzalt.

\(\displaystyle d)\) A karbonszálak megjelenéséig az acél volt a legnagyobb szakítószilárdságú anyag. A Wikipédia szerint különféle acélok szakítószilárdsága 1000-2700 MPa. Számításunk szerint tehát hangszerhúrhoz különleges, nagy szakítószilárdságú acélra van szükség. Gitárhúr készült még juhbélből és műanyagból (nejlonból). Ezek sűrűsége kb. 8-szor kisebb, ezért 250 MPa szakítószilárdság is elég a G hanghoz, ehhez képest a nejlon szakítószilárdsága 750 MPa. Magának a karbonszálnak a szakítószilárdsága 6370 MPa, amit valamilyen kompozit műanyagba építenek be. Újabban jó minőségű klasszikusgitár-húrok készülnek karbonszálas műanyagból (carbon strings).

https://en.wikipedia.org/wiki/Ultimatetensilestrength

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bartók Imre, Bukor Benedek, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Turcsányi Ádám.
5 pontot kapott:	Morvai Orsolya.
4 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2018. februári fizika feladatai