 |
A P. 5012. feladat (2018. március) |
P. 5012. A phjongcshangi téli olimpián a magyar férfi rövidpályás gyorskorcsolyaváltó 5000 méteren 6 perc 31,971 másodperces rekordidővel olimpiai bajnok lett. A 111,12 m hosszú rövidpályás gyorskorcsolyapálya két 8,5 m sugarú félkörből és az azok végpontjait összekötő egyenes szakaszokból áll. Becsüljük meg, mekkora szögben dőlnek be a korcsolyázók a kanyarokban!
Közli: Frei Zsolt, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A korcsolyázók átlagsebessége
\(\displaystyle v=\frac{5000~\rm m}{(6\cdot 60+32)~\rm s}=12{,}7\frac{\rm m}{\rm s} \approx 46~\frac{\rm km}{\rm h}. \)
Közelítsük a korcsolyázók tömegeloszlását a tömegközéppontjukba képzelt tömegponttal, és a tömegközéppont távolságát a talajtól (ez kb. 1 méter) hanyagoljuk el a félkörök \(\displaystyle R\) sugara mellett. Ebben a közelítésben az \(\displaystyle m\) tömegű korcsolyázóra ható átlagos tapadó súrlódási erő (ami a centripetális gyorsulást biztosítja) \(\displaystyle v^2/R\), a jégpálya függőleges nyomóereje pedig \(\displaystyle mg\). A két erő eredője akkor megy át a tömegközépponton, ha a korcsolyázó a függőlegessel \(\displaystyle \alpha={\rm arctg}\frac{v^2}{Rg}\approx 60^\circ\)-os szöget zár be. (Ennél pontosabban nem érdemes megadni a kérdéses szöget a becslésnél alkalmazott ,,durva közelítések'' miatt.)
Megjegyzés. Pontosabb számoláshoz figyelembe kellene venni, hogy a korcsolyázó nem tömegpont, hanem inkább merev testhez hasonló (amikor éppen nem mozgatja a kezeit és a lábait), és emiatt a tömegközéppontra vonatkoztatott perdülete nullától különböző és időben változó irányú vektor. Az is igaz, hogy a tömegközéppont a korcsolyázó bedőlése miatt nem \(\displaystyle R\), hanem annál kisebb sugarú körpályán mozog. Ezen finomságok tárgyalásától, valamint az egyenes szakaszról a félkörre való átmenet (tranziens) pontosabb leírásától a feladat által kérdezett becslésnél nyilván eltekinthetünk.
Statisztika:
68 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Al-Sayyed Zakariás, Bartók Imre, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Csécsi Marcell, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Fialovszky Márk, Gál Péter Levente, Gálóczy Balázs, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Hajnal Dániel Konrád, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács Gergely Balázs, Kozák 023 Áron, Lipták Gergő, Magyar Máté, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Osvárt Bence Attila, Pácsonyi Péter, Pszota Máté, Rusvai Miklós, Schrott Márton, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Takács Árpád, Turcsányi Máté, Vanya Dóra, Vass Bence, Viczián Anna, Vígh Márton. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2018. márciusi fizika feladatai