A P. 5013. feladat (2018. március)

P. 5013. Az ábrán látható, \(\displaystyle R=1\) m sugarú gyűrűből és könnyű, kicsi kerekekkel felszerelt kiskocsiból álló szerelvény tömege \(\displaystyle m\). A gyűrű aljába egy szintén \(\displaystyle m\) tömegű, pontszerű testet helyezünk. A testet pillanatszerűen \(\displaystyle v_0\) sebességgel elindítjuk. Mekkora \(\displaystyle v_0\), ha a kocsi éppen felemelkedik a talajtól, amikor a test a gyűrű legfelső pontjába kerül? A súrlódás mindenütt elhanyagolható.

Közli: Berke Martin, Zalaegerszegi Zrínyi M. Gimnázium

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Legyen a test sebessége a pályájának legmagasabb pontjában \(\displaystyle v_1\), a kocsi sebessége ugyanekkor \(\displaystyle v_2\). Az energia- és a lendületmegmaradás törvénye szerint

\(\displaystyle mv_0=mv_1+ mv_2,\qquad \text{illetve}\qquad \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2+2mgR.\)

Az egyenletrendszer (\(\displaystyle v_1<v_2\) feltételnek eleget tevő) megoldása

\(\displaystyle v_1=\frac{v_0}{2}-\sqrt{\left(\frac{v_0}{2}\right)^2-2gR},\qquad v_2=\frac{v_0}{2}+\sqrt{\left(\frac{v_0}{2}\right)^2-2gR}.\)

Számítsuk most ki a pontszerű testre ható \(\displaystyle K\) erő nagyságát a pálya legmagasabb pontjában! Ha ez nagyobb, mint \(\displaystyle mg\), akkor a kiskocsi \(\displaystyle K\) ellenereje hatására megemelkedik. (Belátható, hogy a megemelkedés szempontjából a pálya legfelső pontja a kritikus, ha ott nem teljesül a \(\displaystyle K>mg\) feltétel, akkor máshol sem emelkedhet fel a kiskocsi.)

Írjuk fel a kis test mozgásegyenletét a pálya legfelső pontjában a kocsihoz rögzített koordináta-rendszerben. Ez a rendszer ugyan nem inerciarendszer, de mivel a kérdéses pillanatban a kocsi gyorsulása nulla, a Newton-egyenlet eredeti alakjában érvényes. A kis test ebben a rendszerben \(\displaystyle R\) sugarú körpályán mozog, sebessége a legfelső pontban \(\displaystyle v_1-v_2\), a mozgásegyenlet tehát

\(\displaystyle mg+K=m\frac{\left(v_2-v_1\right)^2}{R},\)

vagyis

\(\displaystyle K=\frac{mv_0^2}{R}-9mg>mg,\qquad \text{azaz}\qquad v_0>\sqrt{10\,gR}\approx 10~\frac{ \rm m}{\rm s}.\)

II. megoldás. A feladatot megoldhatjuk inerciarendszerből, például a tömegközépponthoz rögzített vonatkoztatási rendszerből is. Ebben a rendszerben a pontszerű test kezdősebessége \(\displaystyle v_0/2\) jobbra, a kiskocsi pedig ugyanekkora sebességgel mozog balra az indulás pillanatában. Ha a kiskocsi vízszintes elmozdulása egy adott pillanatban \(\displaystyle x\), akkor a kocsié ugyanekkora nagyságú, de ellentétes irányú lesz. Amennyiben a kis test függőleges elmozdulása \(\displaystyle y\), akkor a gyűrűn maradás kényszerfeltétele:

\(\displaystyle (x+x)^2+(y-R)^2=R^2.\)

Ez egy \(\displaystyle a=R\) nagytengelyű, \(\displaystyle b=R/2\) kistengelyű ellipszis egyenlete. Az ellipszis görbületi sugara a nagytengely végpontjaiban, így a pálya legmagasabb pontjában is

\(\displaystyle r=\frac{b^2}{a}=\frac{R}{4}.\)

A kis test \(\displaystyle u\) sebessége a pálya legfelső pontjában az energiamegmaradás törvényéből számolható:

\(\displaystyle 2\cdot \frac{m}{2}\left(\frac{v_0}{2}\right)^2=2\cdot\frac{mu^2}{2}+2mgR,\)

ahonnan

\(\displaystyle u^2=\frac{v_0^2}{4}-2gR.\)

A test mozgásegyenlete a pálya legfelső pontjában

\(\displaystyle mg+K=m\frac{u^2}{r}, \qquad \text{ahonnan}\qquad K=\frac{mu^2}{(R/4)}-mg=\frac{mv_0^2}{R}-9\,mg.\)

Innen \(\displaystyle K>mg\) miatt \(\displaystyle v_0>\sqrt{10\,gR}.\)

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartók Imre, Békési Ábel, Berke Martin, Bíró Dániel, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Fialovszky Márk, Guba Zoltán, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kondákor Márk, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár Mátyás, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Pácsonyi Péter, Pálfi Fanni, Póta Balázs, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Surján Botond, Turcsányi Ádám, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Kovács Gergely Balázs, Markó Gábor, Németh Csaba Tibor, Tafferner Zoltán, Zeke Norbert.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi fizika feladatai