 |
A P. 5022. feladat (2018. március) |
P. 5022. Két fonál közül az egyik \(\displaystyle L\), a másik \(\displaystyle 2L\) hosszúságú. A fonalak végein azonos, \(\displaystyle m\) tömegű, pontszerűnek tekinthető testek vannak. A testeknek azonos, \(\displaystyle Q\) töltése van. Egyensúly esetén mekkora szöget zárnak be a közös pontban rögzített fonalak?
Adatok: \(\displaystyle L=20\) cm, \(\displaystyle m=1\) g, \(\displaystyle Q=2{,}8\cdot 10^{-7}\) C.
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Használjuk az ábrán látható jelöléseket!
A két pontszerű test felezőpontja a felfüggesztési pont alatt, attól
\(\displaystyle h=\sqrt{\frac{5}{2}L^2-\frac{1}{4}r^2}\)
távolságra található. (Ezt a fonalak által kifeszített háromszög két részére felírható koszinusztételből kaphatjuk meg.)
Határozzuk meg először a két test \(\displaystyle r\) távolságát! Mindkét töltött testre, így a jobb oldalira is \(\displaystyle F=k\frac{Q^2}{r^2}\) nagyságú elektrosztatikus taszítóerő és függőleges irányú, \(\displaystyle mg\) nagyságú nehézségi erő hat. Az ábrán sötéten jelölt háromszögek hasonlósága miatt fennáll, hogy
\(\displaystyle \frac{F}{mg}=\frac{r}{2h},\)
vagyis
\(\displaystyle k\frac{Q^2}{mgL^2}\sqrt{10-\left(\frac{r}{L}\right)^2}=\left(\frac{r}{L}\right)^3.\)
A négyzetgyök előtt álló dimenziótlan szám (a feladat szövegében szereplő numerikus értékek mellett) \(\displaystyle 1{,}796\approx 1{,}8\), így a megoldandó egyenlet az \(\displaystyle x\equiv r/L\) dimenziótlan mennyiségre:
\(\displaystyle 1{,}8\sqrt{10-x^2}=x^3.\)
Ezt a ,,nem szokványos'' egyenletet négyzetre emeléssel és új változó bevezetésével harmadfokúvá alakíthatjuk, de közvetlenül is megoldhatjuk numerikusan, pl. a http://www.wolframalpha.com felhasználásával. A megoldás: \(\displaystyle x=1{,}69\), és így a fonalak által kifeszített háromszögre alkalmazott koszinusztételből a fonalak keresett szöge mintegy \(\displaystyle 58^\circ\).
Statisztika:
22 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bartók Imre, Édes Lili, Fekete Balázs Attila, Jánosik Áron, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Sal Dávid, Surján Botond. 5 pontot kapott: Elek Péter, Geretovszky Anna, Kondákor Márk, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Máth Benedek. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2018. márciusi fizika feladatai