 |
A P. 5035. feladat (2018. május) |
P. 5035. Télen a cinkék egyik kedvenc eledele a magokat is tartalmazó faggyúgolyó, amelyet például egy fa alsó ágára lehet fonállal felfüggeszteni. Egy ilyen golyóból akár két cinke is falatozhat egyszerre. Egy alkalommal a 90 gramm tömegű golyón lakmározó két cinke – valamitől megriadva – egyszerre röppent fel a golyóról, ugyanakkora kezdősebességgel, egymásra merőleges irányban úgy, hogy mindkét madár kezdősebessége a vízszintessel \(\displaystyle 35^\circ\)-os szöget zárt be. Az egyenként 18 gramm tömegű cinkék közös felröppenését követően a golyót tartó függőleges fonál \(\displaystyle 10^\circ\)-kal lendült hátra, majd 1,4 másodperces lengésidővel kezdett lengedezni.
Mekkora kezdősebességgel röppentek fel a cinkék?
Közli: Radnai Gyula, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A faggyúgolyó \(\displaystyle T\) lengésidejéből kiszámítható a fonál hossza:
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{{\frac{\ell}{g}}}, \qquad \ell=\frac{gT^2}{4\pi^2}=0{,}49~\rm m.\)
A lengés szögkitéréséből (az energiamegmaradás tételét alkalmazva) meghatározható a meglökött faggyúgolyó kezdősebessége:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2= mg\ell(1-\cos 10^\circ),\qquad \text{innen} \qquad v_0=0{,}38~\frac{\rm m}{\rm s}. \)
Ha az (egyenként) \(\displaystyle m\) tömegű cinkék \(\displaystyle v\) sebességgel röppentek fel, az összes lendületük \(\displaystyle \sqrt{2}mv\), és ennek a vektornak a vízszintes vetülete \(\displaystyle \sqrt{2}mv\cdot \cos 54{,}2^\circ\). (Belátható, hogy az eredő lendületvektor a vízszintes síkkal \(\displaystyle 54{,}2^\circ\)-os szöget zár be.) Ez a lendület-összetevő megegyezik a meglökött faggyúgolyó kezdeti lendületével, hiszen a hirtelen felröppenéskor a még függőleges fonál nem fejthet ki vízszintes irányú erőt. A lendületmegmaradás törvénye szerint:
\(\displaystyle \sqrt{2}(18~{\rm g})\cdot v \cos 54{,}2^\circ=(90~{\rm g})\cdot 0{,}38~\frac{\rm m}{\rm s},\)
ahonnan a cinkék keresett sebessége:
\(\displaystyle v=2{,}3~ \frac{\rm m}{\rm s}.\)
Statisztika:
50 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás , Sal Dávid, Vaszary Tamás. 4 pontot kapott: Bartók Imre, Bonifert Balázs, Csire Roland, Édes Lili, Elek Péter, Geretovszky Anna, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Klučka Vivien, Kondákor Márk, Kozák 023 Áron, Kozák András, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Pszota Máté, Rusvai Miklós, Schneider Anna, Selmi Bálint, Turcsányi Ádám, Vass Bence. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2018. májusi fizika feladatai