A P. 5044. feladat (2018. május)

P. 5044. András és Béla ikertestvérek. A 20. születésnapjukon sorsuk megváltozik: András a Földön marad, Béla viszont egy hosszabb űrexpedícióra indul. Az űrhajó állandó sebességgel távolodik a Földtől. Egy év múlva András készít egy fényképet a születésnapi tortájáról, és rádiójelekkel elküldi azt Bélának, aki azt épp a 22. születésnapján kapja meg az űrhajóban.

\(\displaystyle a)\) Mekkora sebességgel távolodik az űrhajó a Földtől?

\(\displaystyle b)\) Milyen távol van az űrhajó a Földtől András szerint a fénykép megérkezésekor?

\(\displaystyle c)\) Béla is készít egy felvételt a 22. születésnapjáról, és azonnal elküldi azt testvérének. Hány éves korában kapja meg András ezt a fényképet?

Közli: Simon Péter, Pécs

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Legyen az űrhajó sebessége a Földhöz képest \(\displaystyle v\), a fénysebesség pedig \(\displaystyle c\). Jelöljük \(\displaystyle t\)-vel azt a földi órákkal mért időt, amennyi az űrhajó indulásától Béla űrhajójához érkezéséig eltelik. Mérjük a távolságokat fényév, az időtartamokat pedig év egységekben, ekkor \(\displaystyle c=1\).

Egyrészt tudjuk, hogy

\(\displaystyle t=\frac{2}{\sqrt{1- {v^2} }} \qquad \text{(idődilatáció)},\)

másrészt

\(\displaystyle t=1+vt,\)

hiszen a fénynek \(\displaystyle t-1\) év alatt \(\displaystyle vt\) utat kell megtennie. A két egyenletből \(\displaystyle v=\tfrac{3}{5},\) vagyis az űrhajó a fénysebesség 60 százalékával távolodik a Földtől, továbbá \(\displaystyle t=2{,}5~\)év.

\(\displaystyle b)\) Az űrhajó távolsága a fénykép megérkezésekor András szerint \(\displaystyle vt=1{,}5\) fényév.

\(\displaystyle c)\) A Béla által készített, 1,5 fényév távolságból fénysebességgel ,,utazó'' fénykép rádióüzenete 1,5 év alatt érkezik vissza a Földre, András ekkor \(\displaystyle 20+ t+1{,}5=24\) éves lesz.

Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Absur Khan Siam, Bartók Imre, Csire Roland, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Pszota Máté.
5 pontot kapott:	Fekete András Albert.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi fizika feladatai