 |
A P. 5056. feladat (2018. október) |
P. 5056. Egy 40 N/m rugóállandójú, elhanyagolható tömegű rugó függőleges helyzetben áll az asztalon. A rugó tetejéhez erősített, ugyancsak elhanyagolható tömegű lemezre egy 0,2 kg tömegű, kis méretű testet ejtünk, a lemeztől mérve 0,4 m magasságból. Mennyi ideig lesz a kis test a lemezen, ha nem tapad hozzá?
Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a rugóállandót \(\displaystyle D\)-vel, a kis test tömegét \(\displaystyle m\)-mel, az ejtési magasságot pedig \(\displaystyle h\)-val!
A kis test \(\displaystyle v_0=\sqrt{2gh}=2{,}8~\rm m/s\) sebességgel érkezik a rugón lévő lemezre, és onnan (a lemez elhanyagolható tömege miatt) ugyancsak \(\displaystyle v_0\) sebességgel haladva kezdi összenyomni a rugót.
A kis test a rugó \(\displaystyle x_0\) nagyságú összenyomódása mellett lehetne egyensúlyban, ahol
\(\displaystyle x_0=\frac{mg}{D}=0{,}049~\rm m.\)
Mérjük a kis test elmozdulását az egyensúlyi helyzettől függőlegesen felfelé, és az időmérés kezdőpontját válasszuk meg úgy, hogy a rezgést egy koszinuszfüggvény írja le. A mozgásegyenlet:
\(\displaystyle ma=-mg-\left(x-\frac{mg}{D}\right)D=-Dx,\)
amelynek megoldása:
\(\displaystyle x(t)=A\cos\omega t,\)
ahol
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=14{,}1~\rm s^{-1}\)
a rezgés körfrekvenciája.
A kis test és a lemez érintkezésének pillanatában:
\(\displaystyle x_0=A\cos(\omega t_0),\)
\(\displaystyle -v_0=-A\omega\sin(\omega t_0).\)
Innen \(\displaystyle t_0\) kiküszöbölhető:
\(\displaystyle x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}=A^2,\)
vagyis a rezgés amplitúdója:
\(\displaystyle A=\sqrt{ \frac{ g^2}{\omega^4} +\frac{2gh}{\omega^2 }}\approx 0{,}20~\rm m.\)
Ugyanezt az eredményt az energiamegmaradás
\(\displaystyle mg(h+x_0+A)=\frac{1}{2}D(x_0+A)^2\)
törvényéből is kiszámíthatjuk.
A \(\displaystyle t_0\) időtartam a
\(\displaystyle \tg (\omega t_0)=\frac{v_0}{x_0\omega}\approx 4{,}05\)
egyenlet alapján kb. \(\displaystyle 0{,}09~\rm s\), és az ütközés ideje (vagyis az az időtartam, amíg a rugó összenyomott állapotban van)
\(\displaystyle \Delta t=T-2t_0=0{,}26~\rm s.\)
Statisztika:
79 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andorfi István, Békési Ábel, Bokor Endre, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Girus Kinga, Hartmann Alice, Hisham Mohammed Almalki, Jánosik Áron, Kupás Lőrinc, Laposa Hédi, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Németh Csaba Tibor, Németh Kristóf, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Schrott Márton, Tafferner Zoltán, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Turcsányi Máté, Vass Bence, Vaszary Tamás, Viczián Anna. 4 pontot kapott: Köpenczei Csenge, Markó Gábor, Schneider Anna, Székely Bálint. 3 pontot kapott: 10 versenyző. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 12 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2018. októberi fizika feladatai