A P. 5066. feladat (2018. október)

P. 5066. Egy átlátszó közegben \(\displaystyle z\) irányban változik az optikai törésmutató. Erre merőlegesen, az \(\displaystyle x\) tengely irányában vékony fénysugarat indítunk, amely a közegben a pozitív \(\displaystyle z\) irányba eltérülve parabolaív mentén halad. A törésmutató értéke \(\displaystyle z=0\)-nál \(\displaystyle n_0\), míg \(\displaystyle z=h\)-nál \(\displaystyle \sqrt{2}\,n_0\). Hogyan függ a törésmutató \(\displaystyle z\)-től?

Közli: Vigh Máté, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Osszuk fel a közeget a \(\displaystyle z\)-tengelyre merőleges, egymáshoz igen közeli, vékony sávokra, és egy-egy sávon belül tekintsük a törésmutatót állandó nagyságúnak. Ez a közelítés annál jobban hasonlít a valóságos (folytonosan változó \(\displaystyle n(z)\)-nek megfelelő) esethez, minél keskenyebbek a szóban forgó sávok.

A vékony sávok határfelületénél felírhatjuk a Snellius–Descartes-féle törési törvényt:

\(\displaystyle \frac{n_1}{n_2}=\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}; \qquad \frac{n_2}{n_3}=\frac{\sin\alpha_2}{\sin\alpha_3}; \qquad \frac{n_3}{n_4}=\frac{\sin\alpha_3}{\sin\alpha_4} \ldots\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{n_1}{\sin\alpha_1}=\frac{n_2}{\sin\alpha_2}=\frac{n_3}{\sin\alpha_3}=\ldots=\frac{n_k}{\sin\alpha_k}=\text{állandó}.\)

Itt \(\displaystyle n_i\) az \(\displaystyle i\)-edik réteghez tartozó törésmutató, \(\displaystyle \alpha_i\) pedig a fénysugár beesési szöge az \(\displaystyle i\)-edig réteg határán. Ezek szerint

\(\displaystyle n(z)=\text{állandó}\cdot \sin\alpha(z),\)

és mivel az \(\displaystyle x\) tengelynél \(\displaystyle n(0)=n_0\) és \(\displaystyle \alpha(0)=90^\circ\), felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle n(z)=n_0\sin\alpha(z).\)

A feladat szövege szerint a fénysugár pályája parabolaív, amelynek egyenlete

\(\displaystyle z(x)=kx^2\)

alakban adható meg, ahol \(\displaystyle k\) egy (most még ismeretlen) állandó. A parabola ismert tulajdonsága, hogy az érintőjének meredeksége kétszer nagyobb, mint az adott pont és a parabola csúcspontja közötti szelő meredeksége. Ezt differenciálszámítással láthatjuk be, vagy egy ismert mechanikai analógiát felhasználva (az egyenletesen gyorsuló mozgás pillanatnyi sebességének és átlagsebességének összehasonlításából) kaphatjuk meg.

A fenti egyenlettel megadott parabola meredeksége tehát

\(\displaystyle \tg(90^\circ-\alpha)=\ctg\alpha=\frac{kx^2}{2x}=2kx=2\sqrt{kz}.\)

Másrészt

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{1+\ctg^2\alpha},\)

tehát

\(\displaystyle n(z)\cdot \frac{1}{1+\ctg^2\alpha}=n_0, \qquad n(z)=n_0 \sqrt{1+4kz}.\)

Ha \(\displaystyle z=h\), akkor \(\displaystyle n=\sqrt{2}n_0,\) ahonnan

\(\displaystyle n_0 \sqrt{1+4kh}=\sqrt{2}n_0,\qquad 1+4kh=2,\qquad k=\frac{1}{4h}.\)

A keresett összefüggés tehát

\(\displaystyle n(z)=n_0\sqrt{1+\frac{z}{h}}.\)

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bokor Endre, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Gulácsi Máté, Hisham Mohammed Almalki, Markó Gábor, Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid, Takács Árpád, Tiefenbeck Flórián.
3 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. októberi fizika feladatai