 |
A P. 5076. feladat (2018. november) |
P. 5076. Egy optikai rácsot a résekre merőlegesen, de a rács síkjához képest ferdén, \(\displaystyle 45^\circ\)-os szögben világítunk meg monokromatikus, \(\displaystyle \lambda\) hullámhosszúságú lézerfénnyel. Határozzuk meg az elhajlási kép intenzitásmaximumainak számát és irányát, ha a rácsállandó
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle d=\lambda\);
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle d=5\lambda\).
Közli: Woynarovich Ferenc (Budapest)
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az erősítés feltétele:
\(\displaystyle d(\sin \alpha-\sin 45^\circ)=n\lambda,\)
vagyis
\(\displaystyle \sin \alpha=\sin 45^\circ+n\frac{\lambda}d,\qquad n=\text{egész}.\)
(\(\displaystyle \alpha\) az interferencia folytán felerősödő nyaláb irányának a rács síkjára merőleges egyenestől mért szöge.) Nyilván teljesülnie kell a \(\displaystyle -1<\sin \alpha<1\) feltételnek.
\(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle d=\lambda\), a megoldandó egyenlet:
\(\displaystyle \sin\alpha=n+0{,}707.\)
Ennek csak 2 megoldása van:
\(\displaystyle n=0, \qquad \alpha=45{,}0^\circ \quad\text{(ez a direkt nyaláb)},\)
\(\displaystyle n=-1,\qquad \alpha=-17{,}0^\circ.\)
A maximumok darabszáma a beesési szögtől függetlenül kettő (\(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=-1\)-nek megfelelően), de a szögek természetesen függnek a rács dőlésszögétől.
\(\displaystyle b)\) Hasonló számolással:
\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{n}{5}+0{,}707.\)
Ennek az egyenletnek 10 megoldása van:
\(\displaystyle n=-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,\)
és a megfelelő szórási szögek:
\(\displaystyle -63{,}2^\circ, -43{,}8^\circ,-29{,}5^\circ,-17{,}0^\circ,-5{,}3^\circ,+6{,}1^\circ, +17{,}9^\circ,+30{,}5^\circ,+45{,}0^\circ,+65{,}1^\circ. \)
Általában az elhajlási maximumok száma a beesési szögtől függetlenül kb. \(\displaystyle 2\frac{d}{\lambda},\) de a szóródási szögek a direkt nyalábhoz viszonyítva is, és a rács síkjának normálisához képest is aszimmetrikusan oszlanak el.
Statisztika:
9 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Csépányi István, Fülöp Sámuel Sihombing, Makovsky Mihály, Olosz Adél. 4 pontot kapott: Elek Péter. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2018. novemberi fizika feladatai