A P. 5101. feladat (2019. február)

P. 5101. Egy űrhajó körpályán kering a Föld körül, keringési ideje 100 perc. A Föld felszínének mekkora részét láthatja az űrhajós egy adott pillanatban? (A légköri fénytörést elhanyagolhatjuk.)

Némedi István (1932–1998) feladata nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A Newton-féle gravitációs törvényből és a keringési időből kiszámítható a pálya sugara:

\(\displaystyle \frac{\gamma M}{(R+h)^2}=(R+h)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2,\)

ahol \(\displaystyle R\) a Föld sugara, \(\displaystyle h\) pedig a műhold pályájának magassága a Föld felszíne felett. Innen

\(\displaystyle h=\sqrt[3]{\frac{\gamma M T^2}{4\pi^2}}-R=760~\rm km.\)

Az űrhajós egy akkora gömbsüveg felszínét láthatja, amelyet a \(\displaystyle h\) magasságú pontból a Földhöz húzott érintő jelöl ki.

\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{R}{R+h}, \qquad d=R(1-\cos\alpha)=\frac{Rh}{R+h},\)

vagyis a keresett terület:

\(\displaystyle A=\frac{d}{2R}\cdot 4\pi R^2=2\pi R^2\frac{h}{R+h}\approx 27~\text{millió km} ^2,\)

a Föld teljes felszínének kb. 5,4%-a.

Statisztika:

67 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Andorfi István, Conrád Márk, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Ferjancsik Zaránd, Fiam Regina, Gál Péter Levente, Hervay Bence, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Lipták Gergő, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Murányi Albert, Osztényi József, Rusvai Miklós, Sas 202 Mór, Schrott Márton, Sepsi Csombor Márton, Sugár Soma, Tafferner Zoltán, Toronyi András, Vajay Mónika, Vass Bence, Viczián Anna.
3 pontot kapott:	Bukor Benedek, Duong Phan, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Györgyfalvai Fanni, Kalmár Dóra, Kozák 023 Áron, Köpenczei Csenge, Laposa Hédi, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Merkl Gergely, Nagy Balázs, Nagyváradi Dániel, Schneider Anna, Simon Tamás, Szabó 314 László, Szoboszlai Szilveszter, Telek Dániel.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2019. februári fizika feladatai