A P. 5103. feladat (2019. február)

P. 5103. Egyik végénél felfüggesztett, függőlegesen szabadon lógó, \(\displaystyle m\) tömegű SLINKY-rugó a saját súlya alatt \(\displaystyle L\) hosszúságúra nyúlik. Ezután a rugó egyik végét \(\displaystyle H\) magasságban egy vízszintes asztallap felett tartjuk \(\displaystyle (H<L)\), így a rugó nem tud teljesen kinyúlni. Mekkora erő hat a rugóra a felfüggesztésnél, illetve az alátámasztásnál? (A rugó feszítetlen hossza \(\displaystyle H\)-hoz képest elhanyagolható.)

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A rugó – ameddig követi a Hooke-törvényt – valamekkora \(\displaystyle D\) rugóállandóval jellemezhető. Amikor a rugó minden részét \(\displaystyle F\) erő feszíti (ez pl. egy vízszintes, súrlódásmentes asztallapon valósítható meg), a teljes rugó megnyúlása a Hooke-törvény szerint \(\displaystyle F/D\). Ha a rugóból levágjuk annak \(\displaystyle x\)-ed részét, vagyis \(\displaystyle m'=xm\) tömegű darabját \(\displaystyle (x<1)\), annak megnyúlása \(\displaystyle F\) feszítóerő hatására \(\displaystyle xF/D\), tehát a megrövidített rugó rugóállandója \(\displaystyle D'=D/x\). A megrövidített rugó tömege tehát a rövidítés mértékével egyenesen, a rugóállandója pedig fordítottan arányos.

Az asztal felett \(\displaystyle H\) magasan tartott rugó legalsó menete és az asztalon fekvő része között nem ébredhet rugalmas erő. (Ha ugyanis húzóerő lépne fel a két rész között, akkor a rugó lelógó részének alja valamennyi rugódarabot felemelne az asztalról, nyomóerő esetén pedig valahány menetnyi rugó ,,leülne'' az asztalra.) A két részt akár el is választhatjuk egymástól (a rugót elvághatjuk), a kérdezett erők emiatt nem változnának meg. A felfüggesztésnél ható erő tehát a függőlegesen lógó rész \(\displaystyle xm\) súlya, az alátámasztásnál ható erő pedig az asztalon fekvő rugódarab \(\displaystyle (1-x)m\) súlya, ahol \(\displaystyle x\) a függőleges rész és a teljes rugó menetszám-aránya.

A szabadon lógó teljes rugót a tetejénél \(\displaystyle mg\) erő, az aljánál pedig nulla erő feszíti. A rugó hosszát az átlagerőből számolt megnyúlás adja meg:

\(\displaystyle L=\frac{mg}{2}\frac{1}{D}.\)

Hasonló módon a megrövidített rugónál

\(\displaystyle H=\frac{m'g}{2}\frac{1}{D'}=\frac{xmg}{2}\frac{x}{D}=x^2\cdot L.\)

Innen \(\displaystyle x=\sqrt{\frac{H}{L}}\), és a keresett erők:

\(\displaystyle F^\text{(fent)}=\sqrt{\frac{H}{L}}\cdot mg, \qquad F^\text{(lent)}=\left(1-\sqrt{\frac{H}{L}}\right)\cdot mg.\)

Statisztika:

16 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bonifert Balázs, Csépányi István, Elek Péter, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Telek Dániel, Viczián Anna.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2019. februári fizika feladatai