A P. 5108. feladat (2019. február)

P. 5108. Mekkora az a legkisebb sebesség, amellyel az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle q\) töltésű testet vákuumban fellőve már eljut a függőlegesen fölötte \(\displaystyle \ell\) távolságban rögzített, \(\displaystyle Q\) töltésű testhez? (\(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle q\) ellentétes előjelű töltések.)

Adatok: \(\displaystyle m=10^{-5}\) kg, \(\displaystyle q=4{,}0\cdot 10^{-9}\) C, \(\displaystyle Q= - 1{,}0\cdot 10^{-7}\) C, \(\displaystyle \ell=0{,}36~\)m.

Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A feldobás helyén a fellőtt testre (lefelé) ható \(\displaystyle mg\) nehézségi erő nagyobb, mint a testet felfelé húzó \(\displaystyle kq\vert Q\vert/\ell^2\) Coulomb-erő, ezért a test sebessége fokozatosan csökken. A magasság növekedtével az elektrosztatikus vonzás egyre erősebbé válik, és lesz egy olyan pont, ahonnan a test már ,,magától'' gyorsul felfelé. Határozzuk meg azt az \(\displaystyle x_0\) magasságot, ahol a testre ható erők eredője éppen nulla. Ha idáig eljut a fellőtt töltött test, akkor már biztosan eléri a \(\displaystyle Q\) töltésű másik testet. A

\(\displaystyle k\frac{q\vert Q\vert}{(\ell-x_0)^2}=mg\)

egyenletből

\(\displaystyle x_0=\ell-\sqrt{\frac{kq\vert Q\vert}{mg}}=0{,}168~\rm m.\)

Mekkora lesz ebben a magasságban a test \(\displaystyle v\) sebessége, ha a fellövéskor \(\displaystyle v_0\) sebességgel indult? A munkatétel szerint

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2+k\frac{qQ}{\ell}=\frac{1}{2}mv^2+k\frac{qQ}{\ell-x_0}+mgx_0.\)

Mivel \(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2\ge 0\), teljesülnie kell az

\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2 \ge mgx_0+\frac{kqQ}{\ell-x_0}-\frac{kqQ}{\ell}\)

egyenlőtlenségnek. Ezek szerint a kis test kezdősebessége legalább \(\displaystyle 1{,}25~\frac{\rm m}{\rm s}\) kell, hogy legyen.

Statisztika:

72 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andorfi István, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csépányi István, Duong Phan, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Lipták Gergő, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Schneider Anna, Sugár Soma, Szoboszlai Szilveszter, Tafferner Zoltán, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Varga Vázsony, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Virág Levente, Zámbori Zalán.
4 pontot kapott:	23 versenyző.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. februári fizika feladatai