 |
A P. 5138. feladat (2019. május) |
P. 5138. Víz lehűlését vizsgáljuk elhanyagolható hőkapacitású, egyforma edényekben. A víz kezdeti hőmérséklete mindegyik esetben \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C, a célérték \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C. A környezet hőmérséklete \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C, ami a mérések során nem változik.
\(\displaystyle (i)\) Elsőnek azt mérjük, hogy 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C hőmérsékletű víz \(\displaystyle t_0\) idő alatt hűl le \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C-ra.
\(\displaystyle (ii)\) Másodszor csak addig várunk, amíg a kiindulási 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C hőmérsékletű víz \(\displaystyle 50\;{}^\circ\)C-ra hűl le (ez \(\displaystyle t_1\) időt vesz igénybe), majd gyorsan kiöntünk belőle 1 litert, aminek a helyére 1 liter, \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C-os vizet öntünk.
\(\displaystyle (iii)\) Ezután úgy ismételjük meg a mérést, hogy a kezdeti 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C-os vízből azonnal kimerünk 1 litert, aminek a helyére 1 liter \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C-os vizet öntünk. Az így keletkezett 2 literes keverék \(\displaystyle t_2\) idő alatt éri el a kívánt \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C-ot.
\(\displaystyle (iv)\) Végezetül a kezdeti 2 liter \(\displaystyle 80\;{}^\circ\)C-os vizet hagyjuk lehűlni \(\displaystyle 60\;{}^\circ\)C-ra, majd nagyon gyorsan 1 litert kiöntünk belőle, helyére 1 liter \(\displaystyle 30\;{}^\circ\)C-os vizet juttatunk, és hagyjuk a keveréket \(\displaystyle 40\;{}^\circ\)C-ra hűlni. Ekkor a teljes hűlési idő \(\displaystyle t_3\).
Melyik a leglassabb és melyik a leggyorsabb hűtési módszer? Fejezzük ki \(\displaystyle t_0\) segítségével \(\displaystyle t_1\)-et, \(\displaystyle t_2\)-t és \(\displaystyle t_3\)-at! Feltételezhetjük, hogy egy test hőmérséklet-változásának üteme egyenesen arányos a test és a környezete közötti hőmérséklet-különbséggel, azaz alkalmazható a Newton-féle lehűlési törvény.
Közli: Simon Péter, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük \(\displaystyle \Delta T\)-vel azt a (Celsius-fok egységekben mért) hőmérséklet-különbséget, amennyivel melegebb egy bizonyos test a környezeténél. A Newton-féle lehűlési törvény szerint a \(\displaystyle \Delta T(0)\) kezdeti hőmérséklet-különbséggel jellemezhető test hőmérsékletének a környezetétől való eltérése időben így változik:
\(\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\,{\rm e}^{-\lambda t},\)
ahol \(\displaystyle \lambda\) a test hőkapacitásától, a felületének nagyságától és az ún. hőátadási tényezőtől függő állandó. Esetünkben \(\displaystyle \lambda\) mindegyik folyamatnál ugyanakkora.
A megadott négy esetben a következő egyenleteket írhatjuk fel:
\(\displaystyle (i)\)
\(\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t_0}=10,\)
vagyis \(\displaystyle \lambda t_0=\ln (50/10)=1{,}609\).
\(\displaystyle (ii)\)
\(\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t_1}=20,\)
vagyis \(\displaystyle \lambda t_1=\ln (50/20)=0{,}916\).
\(\displaystyle (iii)\) Az 1-1 liternyi 80 és 30 fokos víz összeöntésekor 2 liter 55 fokos vizet kapunk. Ennek hűlését a
\(\displaystyle 25\,{\rm e}^{-\lambda t_2}=10\)
egyenlet írja le, ahonnan \(\displaystyle \lambda t_2=\ln ({25}/{10})=0{,}916\).
\(\displaystyle (iv)\) Legyen az első hűlés ideje \(\displaystyle t^*\), a második pedig \(\displaystyle t_3-t^*\). Mivel a kétféle hőmérsékletű víz összeöntése után 45 fokos vizet kapunk, ami 15 fokkal melegebb a környezeténél, fennáll, hogy
\(\displaystyle 50\,{\rm e}^{-\lambda t^*}=30, \quad\text{valamint}\quad 15\,{\rm e}^{-\lambda \left(t_3-t^*\right)}=10.\)
Innen kapjuk, hogy
\(\displaystyle \lambda t^*=\ln \frac{50}{30}, \qquad \lambda \left(t_3-t^*\right)=\ln \frac{15}{10},\)
ezek összegéből pedig
\(\displaystyle \lambda t_3=\ln \frac{50}{30}+\ln \frac{15}{10}=0{,}916.\)
Látható, hogy
\(\displaystyle t_1=t_2=t_3=\frac{0{,}916}{1{,}609}\,t_0=0{,}57\, t_0.\)
Azt az érdekes eredményt kaptuk, hogy a lehűlés ideje nem függ attól, hogy mikor keverjük össze a már részben kihűlt folyadék felét ugyanannyi, a környezet hőmérsékletével megegyező hőfokú vízzel; a célértéket ugyanolyan gyorsan érjük el.
Statisztika:
23 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bokor Endre, Bukor Benedek, Duong Phan, Endrész Balázs, Fiam Regina, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Keltai Dóra, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Nagyváradi Dániel, Olosz Adél, Sal Dávid, Selmi Bálint, Tiefenbeck Flórián, Vaszary Tamás. 4 pontot kapott: Ludányi Levente, Viczián Anna. 3 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai