A P. 5148. feladat (2019. szeptember)

P. 5148. Egy 1 méter hosszúságú, hengeres tartályban levegő van bezárva. A tartályt a vízszintes hossztengelye irányában állandó gyorsulással mozgatjuk, miközben a bezárt levegő hőmérsékletét mindvégig állandó, \(\displaystyle T=273\) K értéken tartjuk. Mekkora \(\displaystyle a_0\) gyorsulásnál lenne a tartály elején a levegő nyomása

\(\displaystyle a)\) 0,1%-kal kisebb,

\(\displaystyle b)\) fele akkora,

mint a tartály hátulján?

Útmutatás: ha a hőmérséklet állandó lenne, a földi légkör sűrűsége a barometrikus magasságformula szerint változna: \(\displaystyle \varrho(h)= \varrho_0{\rm e}^{-\frac{Mgh}{RT}}\), ahol \(\displaystyle M\) a levegő átlagos móltömege.

Közli: Vass Miklós, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Állandó hőmérséklet mellett a levegő sűrűsége és a nyomása arányos egymással. Ezek szerint a tartály elején gyakorlatilag ugyanakkora a levegő sűrűsége, mint a hátuljánál, vagyis a sűrűség jó közelítéssel homogénnek tekinthető. A gáztörvény szerint ez a sűrűség

\(\displaystyle \varrho_0 =\frac{p_0M}{RT},\)

ahol \(\displaystyle p_0\) a levegő átlagos nyomása. (Ezt az adatot nem ismerjük.)

Az \(\displaystyle A\) keresztmetszetű tartályban lévő gáz tömege

\(\displaystyle m=\varrho_0 A\cdot(1~{\rm m})=\frac{p_0 MA}{RT}\cdot (1~{\rm m}).\)

Ezt a gázmennyiséget a tartály elején és a hátulján ható erők különbsége gyorsítja:

\(\displaystyle ma_0= \frac{p_0 M A a_0}{R T}\cdot(1~{\rm m})=\Delta p\cdot A=10^{-3}\,p_0 A.\)

Az ismeretlen nagyságú \(\displaystyle A\)-val és \(\displaystyle p_0\)-lal egyszerűsítve kapjuk, hogy

\(\displaystyle a_0=10^{-3}\frac{RT}{M\cdot (1~\rm m)}=78\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 8\,g.\)

\(\displaystyle b)\) Most a nyomás (és ezzel arányosan a sűrűség) lényegesen változik a tartályban, tehát a tömeget nem számolhatjuk egy állandó (helyfüggetlen) sűrűség segítségével. Alkalmazható viszont a barometrikus magasságformula, mert a tartállyal együtt mozgó (gyorsuló) koordináta-rendszerben a levegő ,,úgy érzi'', mintha a függőleges \(\displaystyle g\) nehézségi gyorsulás mellett még egy vízszintes irányú, \(\displaystyle -a_0\) nagyságú nehézségi gyorsulású gravitációs mező is megjelenne. Ennek hatására a nyomás vízszintes irányban így változik:

\(\displaystyle p_2=p_1 {\rm e}^{-\frac{Ma_0\,(1~\rm m)}{RT}}=\frac{1}{2}p_1, \)

ahonnan a kérdéses gyorsulás:

\(\displaystyle a_0=\ln 2\,\frac{RT}{M\cdot(1~\rm m)}\approx 54\,000~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 5400\,g.\)

Ilyen nagy gyorsulással méteres nagyságú testeket egyenes vonalban huzamosabb ideig mozgatni lehetetlen, tehát azt állíthatjuk, hogy ekkora nyomáskülönbséget a tartály gyorsításával létrehozni nem lehet.

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bohács Tamás, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Fiam Regina, Györgyfalvai Fanni, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Perényi Barnabás, Rusvai Miklós, Sas 202 Mór, Schneider Anna, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Takács Árpád, Takács Dóra, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence.
4 pontot kapott:	Baki Bence István, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hamar Dávid, Szász Levente, Tanács Kristóf, Tóth Ábel, Török 111 László, Viczián Anna.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. szeptemberi fizika feladatai