 |
A P. 5153. feladat (2019. szeptember) |
P. 5153. Két egyforma, homogén rúd egy-egy végpontja csuklósan kapcsolódik egymáshoz. A rudak vízszintes, súrlódásmentes asztallapon egy egyenes mentén nyugszanak. Az egyik rúd szabad végére a rúdra merőleges irányban hirtelen ráütünk, mire az a pont 1 m/s sebességgel kezd el mozogni. Milyen irányban és mekkora sebességgel indul el a másik rúd szabad végpontja?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(6 pont)
A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük egy-egy rúd hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel, tömegét \(\displaystyle m\)-mel; a tömegközéppontjukra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékuk ekkor \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{12}m \ell^2.\)
Ha a bal oldali rúd bal oldali végére egy hirtelen \(\displaystyle p_1=F\Delta t\) erőlökést fejtünk ki, a rudak haladó és forgó mozgásba jönnek, tömegközéppontjuk valamekkora \(\displaystyle v_1\) és \(\displaystyle v_2\) sebességgel kezd el mozogni (a rudakra merőleges irányban), a tömegközéppontjuk körül pedig \(\displaystyle \omega_1\) és \(\displaystyle \omega_2\) szögsebességre tesznek szert az ábrán látható irányításokkal.
A két rúd közötti csukló is kifejt valamekkora, \(\displaystyle p_2\) erőlökést, amelynek iránya ugyancsak merőleges a rudakra. (Ha az egymással ellentétes irányú erőlökéseknek lenne rúdirányú összetevője, akkor a rudak hirtelen egymás felé, vagy egymástól eltávolodva kezdenének el mozogni, ez pedig a csuklós kapcsolat miatt nem lehetséges.)
Írjuk fel a rudak tömegközépponti mozgására, illetve a forgómozgásukra vonatkozó Newton-egyenleteket!
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle p_1+p_2=mv_1,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle p_2=mv_2,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \left(p_1-p_2\right) \frac{\ell}{2}=\frac{1}{12}m \ell^2\,\omega_1,\) |
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle p_2 \frac{\ell}{2}=\frac{1}{12}m \ell^2\,\omega_2.\) |
Tudjuk továbbá, hogy a meglökött rúdvég sebessége
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle v_0=v_1+ \frac{\ell}{2}\omega_1,\) |
a csuklósan összekapcsolt rúdvégek sebessége pedig megegyezik:
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \frac{\ell}{2}\omega_1 -v_1= v_2+\frac{\ell}{2}\omega_2.\) |
A keresett sebesség (a jobb oldali rúd jobb oldali végpontjának sebessége):
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle v^*=\frac{\ell}{2}\omega_2-v_2.\) |
Az (1)-(6) egyenletrendszer megoldása:
\(\displaystyle p_1=\frac{2}{7}mv_0,\qquad p_2=\frac{1}{14}mv_0,\)
\(\displaystyle v_1=\frac{5}{14}v_0,\qquad v_2=\frac{1}{14}v_0,\qquad \omega_1=\frac{9}{7}\,\frac{v_0}{\ell}, \qquad \omega_2=\frac{3}{7}\,\frac{v_0}{\ell},\)
és végül (7)-nek megfelelően
\(\displaystyle v^*=\frac{v_0}7.\)
A jobb oldali rúd szabad vége tehát ,,előrefele'' (a külső erőlökéssel megegyező irányban) \(\displaystyle \frac{1}{7}\,\frac{\rm m}{\rm s}\) kezdősebességgel kezd el mozogni.
Statisztika:
5 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bokor Endre. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2019. szeptemberi fizika feladatai