A P. 5216. feladat (2020. március)

P. 5216. Egy függőlegesen álló hengeres tartályban egy súlyos dugattyú alatt \(\displaystyle n\) mol, \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű levegő van. A tartály és a dugattyú jó hőszigetelő, kívül vákuum van. A dugattyút lassan emelni kezdjük, majd amikor már \(\displaystyle W\) munkát végeztünk, hirtelen elengedjük. A dugattyú lengésbe jön, és idővel (a levegő belső súrlódása miatt) megáll.

Mekkora lesz a levegő hőmérséklete az új egyensúlyi helyzetben? Hogyan változik az eredmény, ha a dugattyút nem emeljük, hanem \(\displaystyle W\) munkavégzéssel lenyomjuk, majd hirtelen elengedjük?

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.

I. megoldás. Legyen a dugattyú súlya \(\displaystyle G\), keresztmetszete \(\displaystyle A\), az elzárt levegő térfogata kezdetben \(\displaystyle V_0\), a végállapotban pedig (a dugattyú mozgásának megállása után) a hőmérséklet \(\displaystyle T\), a gáztérfogat pedig \(\displaystyle V\).

Mivel a falak és a dugattyú jó hőszigetelő, a rendszer nem tud leadni hőt, és így az általunk végzett \(\displaystyle W\) munka a rendszer energiáját növeli. Ez az energianövekedés egyrészt a gáz belső energiájának

\(\displaystyle \Delta E_\text{belső}=\frac{f}{2}nR \Delta T=\frac52 nR\left(T-T_0\right)\)

növekedését fedezi, másrészt a \(\displaystyle \Delta x=\frac{V-V_0}{A}\) magasságnyit megemelkedett dugattyú helyzeti energiájának

\(\displaystyle \Delta E_\text{helyzeti}=G\frac{V-V_0}{A}\)

növekedését biztosítja:

\(\displaystyle W=\Delta E_\text{belső}+\Delta E_\text{helyzeti}.\)

Igaz továbbá, hogy a kezdeti állapotban is, és a végállapotban is a gáz nyomása: \(\displaystyle p=G/A\) (hiszen a dugattyú mechanikai egyensúlyban van). A gáztörvény alapján

\(\displaystyle pV_0=nRT_0, \qquad pV =nRT,\)

ahonnan

\(\displaystyle \Delta E_\text{helyzeti}= nR\left(T-T_0\right)\)

következik.

Ezek szerint az energia mérlegegyenlete így írható fel:

\(\displaystyle W=\frac52 nR\left(T-T_0\right)+ nR\left(T-T_0\right)=\frac72 nR\left(T-T_0\right),\)

és a levegő keresett hőmérséklete az új egyensúlyi helyzetben

\(\displaystyle T=T_0+\frac{2W}{7nR}.\)

Ez az eredmény független attól, hogy a \(\displaystyle W\) munkát a dugattyú lassú emelésével, vagy pedig lassú lenyomásával végeztük.

II. megoldás. A rendszeren végzett munka a teljes energia megváltozásával egyenlő, és nem függ attól, hogy milyen módon hajtottuk végre az energiaváltoztatást. Ha nem fejtünk ki erőt a dugattyúra, tehát semennyi munkát nem végzünk, ellenben \(\displaystyle Q=W\) hőt közlünk lassan a rendszerrel, az energiaviszonyok ugyanolyan mértékben változnak meg. A dugattyú állandó súlya miatt ez a folyamat izobár állapotváltozás, tehát

\(\displaystyle Q=W=nc^{\rm mol}_p\left(T-T_0\right),\)

ahonnan

\(\displaystyle W= \frac72 nR(T-T_0), \qquad \text{tehát}\qquad T=T_0+\frac{2W}{7nR}.\)

Kihasználtuk, hogy a levegő (kétatomos gáz) állandó nyomáshoz tartozó mólhője \(\displaystyle c^{\rm mol}_p=\frac{f+2}{2}R=\frac{7}{2}R.\)

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Fekete András Albert, Sas 202 Mór, Szabó 314 László, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Horváth 999 Anikó, Selmi Bálint.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. márciusi fizika feladatai