 |
A P. 5243. feladat (2020. szeptember) |
P. 5243. Egy sportcsarnokban a kézilabdázók az indítást gyakorolják úgy, hogy a terem falával párhuzamosan futva a falhoz dobott labdát elkapják. Az egyik játékos a faltól 3 méterre, folyamatosan 5 m/s sebességgel szalad. A teremhez képest legalább mekkora sebességgel kell eldobnia a labdát ahhoz, hogy utána épp az eldobás magasságában tudja majd elkapni? A labda ütközését a fallal tekintsük tökéletesen rugalmasnak.
Közli: Kis Tamás, Heves
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a játékos és a fal távolságát \(\displaystyle d\)-vel, a játékos futási sebességét \(\displaystyle v_1\)-gyel, az eldobott labda kezdősebességének a fal felé mutató komponensét \(\displaystyle v_2\)-vel, a függőleges sebességkomponensét pedig \(\displaystyle v_3\)-mal. A labda sebességének nagysága az eldobáskor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2},\) |
ennek a kifejezésnek a legkisebb értékét keressük.
A labda
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle t=\frac{d}{v_2}\) |
idő alatt éri el a falat, és ugyanennyi idő telik el addig, amíg visszajut a játékosig. Ha a labda függőleges irányú sebessége éppen a falnál válik nullává, akkor a fel- és lefelé történő mozgás ideje is ugyanakkora:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle t=\frac{v_3}{g}.\) |
A (2) és (3) egyenletekből (az idő kiküszöbölése után)
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle v_2v_3=gd=9{,}81~\frac{\rm m}{\rm s^2}\cdot 3~{\rm m}=29{,}4~\frac{\rm m^2}{\rm s^2}\) |
adódik.
Mivel fennáll, hogy
\(\displaystyle {v_2^2+v_3^2}\geq 2 \sqrt{v_2^2\cdot v_3^2} =2gd=58{,}8~\frac{\rm m^2}{\rm s^2},\)
a labda kezdősebessége (1) szerint
\(\displaystyle v=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\ge \sqrt{v_1^2+ 2\,v_2 v_3}=\sqrt{25+58{,}8}~\frac{\rm m}{\rm s}\approx 9{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
Megjegyzés. A megoldás során feltételeztük, hogy a labda úgy jut vissza a játékos kezébe, hogy csak a falon pattan egyet, de a földet nem éri el.
Statisztika:
58 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Barkóczi Zsombor , Barna Benedek, Barta Gergely, Berkesi Tímea, Bonifert Balázs, Csapó Tamás, Dékány Csaba, Dobre Zsombor, Fonyi Máté Sándor, Gárdonyi Soma Ákos, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Jakovác Márton , Jánosik Máté, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Korom Lili, Kozaróczy Csaba, Köpenczei Csanád, Kürti Gergely, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Mihályi Gábor, Molnár 123 Barnabás, Nemeskéri Dániel, Sallai Péter, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Sepsi Csombor Márton, Seres-Szabó Márton, Szász Levente, Szoboszlai Szilveszter, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony, Viczián Máté. 4 pontot kapott: Lovas Márton, Papp Marcell Miklós, Ruzsa Bence. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2020. szeptemberi fizika feladatai