A P. 5307. feladat (2021. március)

P. 5307. Egy szivattyú szívássebessége \(\displaystyle 150~\mathrm{cm}^3/\mathrm{s}\). Mennyi időre van szükség ahhoz, hogy egy háromliteres lombikban lévő levegő nyomását szivattyúzással a normál \(\displaystyle 10^5\) Pa-ról ennek ezredrészére csökkentsük izotermikusan?

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. A szivattyú szívássebességét értelmezhetjük úgy, hogy a 3000 cm\(\displaystyle ^3\) térfogatú gázt (egy szelepekkel ellátott dugattyú segítségével) minden másodpercben 3150 cm\(\displaystyle ^3\)-re tágítjuk, vagyis a nyomását izotermikusan

\(\displaystyle p'=\frac{3000}{3150},p_0=0{,}952\,p_0\)

értékre csökkentjük. Ezt \(\displaystyle N\)-szer megismételve a nyomás akkor csökken az eredeti érték ezred részére, ha

\(\displaystyle 0{,}952^N=10^{-3},\)

vagyis

\(\displaystyle N=\frac{\log 10^{-3}}{\log 0{,}952}\approx 142.\)

A kívánt nyomáscsökkenés tehát kb. 142 s, vagyis 2,4 perc alatt valósítható meg.

A nyomás csökkentése kisebb lépésekben is megoldható. Ha például 0,1 másodpercenként 15 cm\(\displaystyle ^3\) levegőt szivattyúztunk ki a lombikból, akkor egy-egy lépés során a nyomás

\(\displaystyle \frac{p'}{p_0}=\frac{3000}{3015}=0{,}995\)

arányban csökken, akkor a lépések száma:

\(\displaystyle N=\frac{\log 10^{-3}}{\log 0{,}995}\approx 1385,\)

tehát a szivattyúzás ideje 138,5 másodperc, azaz kb. 2,3 perc lesz.

II. megoldás. Ha másodpercenként 150 cm\(\displaystyle ^3\)-t szivattyúzunk ki állandó hőmérséklet mellett a 3000 cm\(\displaystyle ^3\)-es lombikból, akkor másodpercenként 150/3000 = 1/20-ával csökken a nyomás. Tehát a nyomás egy kicsiny \(\displaystyle \Delta t\) időre vonatkoztatott csökkenése:

\(\displaystyle \frac{\Delta p }{\Delta t} = - p(t) \cdot \frac{1}{20~\rm s},\)

vagyis (folytonos működésű szivattyúnál) a nyomás csökkenését meghatározó differenciálegyenlet:

\(\displaystyle p'(t)=-\lambda\,p(t),\)

ahol \(\displaystyle \lambda=\frac{1}{20~\rm s}\). A nyomás csökkenésének egyenlete ugyanolyan alakú, mint a radioaktív bomlások \(\displaystyle m'(t)=-\lambda\,m(t)\) egyenlete, tehát a megoldása is ahhoz hasonló:

\(\displaystyle p(t)=p_0\, {\rm e}^{-\lambda t}.\)

Esetünkben a szivattyúzás \(\displaystyle T\) idejére fennáll

\(\displaystyle 10^{-3}p_0=p_0\, {\rm e}^{-\lambda T},\)

ahonnan

\(\displaystyle T=\frac{\ln 10^{-3}}{\lambda}=138{,}2~{\rm s}\approx2{,}3~{\rm perc}.\)

Statisztika:

66 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bagu Bálint, Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Bubics Gergely Dániel, Csonka Illés, Dóra Márton, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Kertész Balázs, Köpenczei Csanád, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Németh Kristóf, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Ruzsa Bence, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Simon László Bence, Sulok Yahyaa, Szabó Márton, Szirmai Dénes, Tanner Norman, Toronyi András, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	Boda Benedek János, Kaltenecker Balázs Bence, Ludányi Levente, Viczián Máté.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	24 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai