 |
A P. 5309. feladat (2021. március) |
P. 5309. Három töltetlen fémgömböt úgy helyezünk el, hogy középpontjuk egy \(\displaystyle a\) oldalú szabályos háromszög csúcsaira essen. A gömbök sugara rendre \(\displaystyle R\), \(\displaystyle R\), illetve \(\displaystyle r = \frac13 R\), és sokkal kisebbek a háromszög oldalánál. Először az első gömbre \(\displaystyle Q\) töltést viszünk fel. Ezután úgy viszünk át töltést a másik kettőre, hogy egy hosszú fémhuzal végeit hozzáérintjük előbb az első és a harmadik, majd az első és a második gömbhöz. Mekkora és milyen irányú lesz az elektromos térerősség a szabályos háromszög középpontjában?
Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A fémhuzallal összekötött gömbök között a kapacitások, vagyis a sugarak arányában oszlik meg a töltés. Ennek megfelelően a gömbök töltése rendre \(\displaystyle Q_1=\tfrac38Q\), \(\displaystyle Q_2=\tfrac38Q\) és \(\displaystyle Q_3=\tfrac14Q\) lesz. A háromszög középpontja \(\displaystyle a/\sqrt{3}\) távol van a csúcspontoktól, így az egyes töltések által létrehozott térerősség nagysága:
\(\displaystyle E_1=E_2=\frac38\, \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}=\frac98 \,\frac{kQ}{a^2},\quad\text{és}\quad E_3=\frac14 \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}=\frac34\, \frac{kQ}{a^2}.\)
Mivel \(\displaystyle \boldsymbol E_1\) és \(\displaystyle \boldsymbol E_2\) azonos nagyságú és egymással \(\displaystyle 120^\circ\)-os szöget bezáró vektorok, az eredőjük is \(\displaystyle \frac38\, \frac{kQ}{\left( {a}/{\sqrt3}\right)^2}\) nagyságú, \(\displaystyle \boldsymbol E_3\)-mal ellentétes irányú vektor lesz. A három töltés által létrehozott eredő térerősség tehát a harmadik (\(\displaystyle r\) sugarú) fémgömb felé mutat, és a nagysága
\(\displaystyle E_\text{eredő}=E_1-E_3=\frac38\,\frac{kQ}{a^2}.\)
Megjegyzés. Érdekes, hogy \(\displaystyle E_\text{eredő}=kQ_1/a^2\), vagyis éppen akkora, mint amilyen erős elektromos teret \(\displaystyle Q_1\) egymagában hozna létre a másik két fémgömb bármelyikének helyén. Ez azonban merő véletlen, kizárólag csak a sugarak \(\displaystyle 1:3\)-as arányánál teljesül.
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Albert Máté, Biebel Botond, Csapó Tamás, Dóra Márton, Dózsa Levente, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mozolai Bende Bruno, Páhán Anita Dalma, Puskás Attila, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szabó Márton, Szász Levente, Téglás Panna, Toronyi András. 3 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Beke Bálint, Jirkovszky-Bari László, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Köpenczei Csanád, Perényi Barnabás, Schmercz Blanka, Strinyi Péter, Török 111 László, Varga Vázsony. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai