 |
A P. 5316. feladat (2021. április) |
P. 5316. Vízszintes, érdes asztallapon nyugvó \(\displaystyle m_1\) tömegű korongnak centrális, egyenes ütközéssel nekicsúszik egy \(\displaystyle v_0= 5\) m/s sebességgel érkező, \(\displaystyle m_2 = 1\) kg tömegű másik korong. A csúszási súrlódás együtthatója az egyes korongokra nézve \(\displaystyle \mu_1 = 0{,}1\) és \(\displaystyle \mu_2 = 0{,}25\).
\(\displaystyle a)\) Mekkora a kezdetben nyugvó korong tömege, ha az abszolút rugalmas ütközés után egyszerre állnak meg?
\(\displaystyle b)\) Milyen távol lesznek ekkor egymástól?
\(\displaystyle c)\) Az ütközéstől számítva mennyi idő múlva állnak meg?
Közli: Holics László, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.
Megoldás. A korongok sebessége a rugalmas ütközés után
\(\displaystyle v_1=\frac{2m_2}{m_1+m_2}v_0, \qquad v_2=\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_0.\)
(A sebességeket akkor tekintjük pozitívnak, ha a mozgás iránya megegyezik a \(\displaystyle v_0\) sebességű korong mozgásirányával.) Az ütközés utáni sebességek nagyságának aránya:
\(\displaystyle \frac{v_1}{\vert v_2\vert}=\frac{2\,m_2}{\vert m_2-m_1\vert}.\)
Az ütközés után mindkét test egyenletesen lassuló mozgással mozog, \(\displaystyle a_1=-\mu_1g\), illetve \(\displaystyle a_2=-\mu_2g\) ,,gyorsulással''. A két test akkor áll meg egyszerre, ha
\(\displaystyle \frac{v_1}{\vert v_2\vert}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}=0{,}4.\)
A továbbiakban két esetet kell megkülönböztetnünk.
I. eset: \(\displaystyle m_1>m_2\), tehát az ütköző (2-es jelű) test sebessége az ütközés során irányt vált.
\(\displaystyle a)\) A két korong akkor áll meg egyszerre, ha
\(\displaystyle \frac{2\,m_2}{m_1-m_2}=0{,}4,\qquad \text{vagyis}\qquad m_1=6\,m_2=6{,}0~\rm kg,\)
és az ütközés utáni sebességek:
\(\displaystyle v_1=1{,}43~\frac{\rm m}{\rm s};\qquad v_2=-3{,}57~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
\(\displaystyle b)\) Az ütközés után a két korong egymással ellentétes irányban mozog, és a megállásig megtett útjuk:
\(\displaystyle s_1=\frac{v_1^2}{2\mu_1g}=1{,}04~{\rm m},\qquad \qquad s_2=\frac{v_2^2}{2\mu_2g}=2{,}60~{\rm m}.\)
A korongok távolsága a megállás pillanatában:
\(\displaystyle d=s_1+s_2=3{,}64~{\rm m}=364~\rm cm.\)
\(\displaystyle c)\) A megállásig eltelő idő:
\(\displaystyle t=\frac{v_1}{\mu_1g}=\frac{\vert v_2\vert}{\mu_2g}=1{,}46~{\rm s}.\)
II. eset: Ha \(\displaystyle m_1<m_2\), akkor az ütközés után mindkét korong ugyanabban az irányban mozog tovább. Lehetséges-e, hogy egyszerre álljanak meg? Ennek feltétele az lenne, hogy
\(\displaystyle \frac{2\,m_2}{m_2-m_1}=0{,}4,\qquad \text{vagyis}\qquad m_1=-4\,m_2<0,\)
ami lehetetlen! Megállapíthatjuk tehát, hogy a megadott súrlódási együtthatók mellett a feladatnak csak egyetlen megoldása van, az ütközés után a két korong nem mozoghat azonos irányban.
Megjegyzés. Amennyiben \(\displaystyle \mu_1>2\mu_2\) teljesülne, akkor a feladatnak kétféle megoldása is lenne. Az egyikben a két korong az ütközés után ellentétes irányban kezd el mozogni, a másik megoldásban pedig ugyanolyan irányban indulnak el. A feladatban szereplő számadatoknál ez a feltétel nem teljesül, de ha – mondjuk – \(\displaystyle \mu_1\) és \(\displaystyle \mu_2\) számértékét felcserélnénk, a kétféle megoldás feltétele megvalósulna.
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Bonifert Balázs, Csonka Illés, Dóra Márton, Fekete András Albert, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Horváth 999 Anikó, Juhász Márk Hunor, Kaltenecker Balázs Bence, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Nemeskéri Dániel, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Seprődi Barnabás Bendegúz, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Téglás Panna, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony, Viczián Máté. 4 pontot kapott: Biebel Botond, Csapó Tamás, Gábriel Tamás, Köpenczei Csanád, Sas 202 Mór, Szabó Márton, Tóth Ábel. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai