 |
A P. 5325. feladat (2021. április) |
P. 5325. Egy kamrában hosszú ideje működik egy fagyasztóláda. A hőmérséklet a ládán belül \(\displaystyle -20\;{}^\circ\mathrm{C}\), a kamrában \(\displaystyle 25\;{}^\circ\mathrm{C}\), a kamrán kívül, a lakás többi részén pedig \(\displaystyle 20\;{}^\circ\mathrm{C}\) van. Mekkora lesz hosszú idő után a kamrában a hőmérséklet, ha még egy ugyanilyen fagyasztóládát bekapcsolunk?
Feltehetjük, hogy a lakás hőmérséklete a kamrán kívül nem változik. A hűtőládákat tekintsük ideális Carnot-gépeknek, amelyek termosztátja úgy van beállítva, hogy belül fenntartja a \(\displaystyle -20\;{}^\circ\mathrm{C}\)-os hőmérsékletet.
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a kamra abszolút hőmérsékletét (kelvinben mérve) \(\displaystyle T\)-vel; az első esetben \(\displaystyle T=273+25=298\). A hűtőláda belsejének hőmérséklete mindkét esetben \(\displaystyle 273-20=253,\) a szoba hőmérséklete pedig \(\displaystyle 273+20=293\).
I. eset: egyetlen hűtőláda van a kamrában.
Legyen a hűtőláda belsejéből egységnyi idő alatt elvont hő \(\displaystyle Q_1\), a kamrának leadott hő pedig \(\displaystyle Q_2\). (\(\displaystyle Q_2>Q_1\), hiszen a hűtőláda motorja is energiát visz be a rendszerbe.) Ha a ládát ideális Carnot-gépnek tekinthetjük, akkor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{Q_2}{Q_1}=\frac{T}{253}.\) |
A hűtőláda belső hőmérséklete akkor marad állandó, ha a láda falain keresztül hővezetéssel egységnyi idő alatt éppen \(\displaystyle Q_1\) hő áramlik vissza, vagyis (Newton hővezetési egyenlete szerint)
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle Q_1=\alpha_1 A_1(T-253),\) |
ahol \(\displaystyle A_1\) a hűtőláda felülete, \(\displaystyle \alpha_1\) pedig az (átlagos) hővezetési együttható.
A kamra hőmérséklete akkor marad állandó, ha a falain keresztül a lakás felé időegységenként \(\displaystyle Q_2-Q_1\) hő távozik:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle Q_2-Q_1=\alpha_2 A_2(T-293),\) |
ahol \(\displaystyle A_2\) a kamra és a lakás közötti fal nagysága, \(\displaystyle \alpha_2\) pedig a kamra és a lakás közötti hővezetési együttható.
Osszuk el a (3) egyenletet a (2)-vel, majd a \(\displaystyle Q_2/Q_1\) arányt (1)-et felhasználva helyettesítsük be. Így kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \frac{T}{253}-1=\frac{\alpha_2 A_2 }{\alpha_1 A_1}\cdot\frac{T-293}{T-253}.\) |
Tudjuk, hogy \(\displaystyle T=298\), ennek megfelelően adódik, hogy
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \frac{\alpha_2 A_2 }{\alpha_1 A_1}=1{,}6.\) |
II. eset: két hűtőláda van a kamrában. Mi változott az előzőekhez képest? A hővezetési együtthatók, valamint a kamra falfelülete ugyanakkora, mint korábban, a hűtőládák és a kamra közötti \(\displaystyle A_1\) felület viszont kétszer nagyobb lett. Ennek megfelelően a (4) egyenlet helyett ezt írhatjuk fel:
\(\displaystyle \frac{T}{253}-1=\frac{\alpha_2 A_2 }{\alpha_1 (2 A_1)}\cdot\frac{T-293}{T-253},\)
azaz (5) behelyettesítése után
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \frac{T}{253}-1=0{,}8\cdot\frac{T-293}{T-253}.\) |
A nevezőkkel beszorozva egy másodfokú egyenletet kapunk, aminek a megoldásai:
\(\displaystyle T_1=308~{\rm K}=35~^\circ{\rm C},\)
illetve
\(\displaystyle T_2=401~{\rm K}=128~^\circ{\rm C}.\)
Érezzük, hogy ezek közül az alacsonyabb érték felel meg a kamra tényleges hőmérsékletének.
Megjegyzés. Az ,,érezzük, hogy ...'' indoklásnál komolyabb érvekkel is alátámaszthatjuk, hogy miért az alacsonyabb kamrahőmérséklet a jó megoldás. Ehhez a megoldások stabilitását kell megvizsgálnunk. Ha a kamrában \(\displaystyle T\) hőmérséklet van, a két hűtőládának egységnyi idő alatt együttesen \(\displaystyle W(T)=\alpha_1(2A_1)(T-253)^2/253\) munkát kell végeznie, hogy tartani tudja a hűtött tér 253 K-es hőmérsékletét. A kamrát ez a \(\displaystyle W(T)\) fűti, miközben időegység alatt \(\displaystyle Q(T)=\alpha_2A_2(T-293)\) hő távozik a lakás többi része felé. Egyensúlyban a két mennyiség (6) szerint egyenlő, ha azonban \(\displaystyle T<T_1\) vagy \(\displaystyle T>T_2\), akkor \(\displaystyle W(T)>Q(T)\), míg \(\displaystyle T_1<T<T_2\) esetén \(\displaystyle W(T)<Q(T)\). Ennek megfelelően, ha kezdetben \(\displaystyle T<T_1\), akkor \(\displaystyle T\) egészen addig növekszik, amíg el nem éri a \(\displaystyle T_1\) értéket. \(\displaystyle T>T_2\) kezdőállapotból kiindulva \(\displaystyle T\) ugyancsak növekedni kezd, és a rendszer egyre jobban eltávolodik a stacionárius állapottól. (A korlátlan melegedésnek az szab határt, hogy a hűtőláda termosztátja állandóan bekapcsolt állapotban lesz, és még így sem tudja tartani a \(\displaystyle -20~^\circ\)C-os belső hőmérsékletet. Ezt a jelenséget erős kánikulában akár még egyetlen hűtőszekrény is produkálhatja.) Végül \(\displaystyle T_1<T<T_2\) kezdeti hőmérséklettől indulva \(\displaystyle T\) időben csökken, egészen a \(\displaystyle T=T_1\) egyensúlyi állapot eléréséig. Mindez azt mutatja, hogy \(\displaystyle T_1\) stabil egyensúlyi állapotnak, \(\displaystyle T_2\) pedig instabil (labilis) állapotnak felel meg.
Statisztika:
8 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai