 |
A P. 5358. feladat (2021. november) |
P. 5358. Hosszú, vékony, függőlegesen kifeszített szigetelőszálon két gyöngy közül az egyik rögzített, a másikat pedig efölött \(\displaystyle h = 0{,}5\) m magasságban tartjuk.
A felső gyöngy tömege \(\displaystyle m = 0{,}5\) gramm, mindkét gyöngy elektromos töltése \(\displaystyle Q = 2{,}6\cdot 10^{-7}\) C. Egy adott pillanatban a felső gyöngyöt lökésmentesen elengedjük.
\(\displaystyle a\)) Mekkora utat tesz meg a gyöngy a legnagyobb sebesség eléréséig?
\(\displaystyle b)\) Mekkora ez a sebesség?
\(\displaystyle c)\) Mekkora lesz a két gyöngy közötti minimális távolság?
\(\displaystyle d)\) Mekkora a pálya legalsó pontjában a gyöngy gyorsulása?
Közli: Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A legnagyobb sebességet akkor éri el a gyöngy, amikor a gyorsulása nulla, vagyis a rá ható eredő erő nulla. Ha ez \(\displaystyle x\) elmozdulás után következik be, akkor fennáll:
\(\displaystyle mg=\frac{kQ^2}{(h-x)^2},\)
vagyis
\(\displaystyle x=h-\sqrt{\frac{kQ^2}{mg}}=0{,}15~\rm m.\)
Érdemes bevezetni a \(\displaystyle d=\sqrt{\frac{kQ^2}{mg}}\) jelölést, aminek nagysága a megadott számadatok mellett
\(\displaystyle d=Q\sqrt{\frac{k }{mg}}=2{,}58\cdot 10^{-7}\sqrt{\frac{9\cdot10^9 }{0{,}0005\cdot 9{,}81}}~{\rm m}=0{,}349~{\rm m}\approx 35~\rm cm.\)
\(\displaystyle b)\) Az energiamegmaradás tétele szerint a legnagyobb sebességnél
\(\displaystyle mgh+\frac{kQ^2}{h}=\frac{1}{2} mv^2+mgd+ \frac{kQ^2}{d},\)
azaz
\(\displaystyle \frac{v^2}{2g}=(h-d)+d^2\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{d}\right)=0{,}045~\rm m,\)
és így
\(\displaystyle v=\sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}045}~\frac{\rm m}{\rm s}=0{,}94~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
\(\displaystyle c)\) Ismét az energiatételt használhatjuk. A mozgás kezdetekor és a végén is a sebesség nulla. A gyöngyök közötti legkisebb távolságot \(\displaystyle \ell\)-lel jelölve
\(\displaystyle mgh+\frac{kQ^2}{h}=mg\ell+\frac{kQ^2}{\ell},\)
vagyis
\(\displaystyle h-\ell=d^2\left(\frac{1}{\ell}-\frac{1}{h}\right)=\frac{d^2(h-\ell)}{h\ell}.\)
Innen \(\displaystyle h-\ell\ne 0\)-val egyszerűsítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle \ell=\frac{d^2}{h}=\frac{\left(0{,}35~{\rm m}\right)^2}{0{,}5~{\rm m}}=0{,}25~\rm m.\)
(Érdekes, hogy a gyöngyök közötti egyensúlyi távolság a legnagyobb és a legkisebb távolság mértani közepével egyezik meg.)
\(\displaystyle d)\) A pálya legalsó pontjában a gyöngy gyorsulása felfelé \(\displaystyle a\), melyre a Newton-egyenletet írhatjuk fel:
\(\displaystyle \frac{kQ^2}{\ell^2}-mg=ma,\)
azaz
\(\displaystyle a=g\left(\frac{d^2}{\ell^2}-1\right)\approx g \approx 10~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)
Statisztika:
60 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bányai Kristóf, Biebel Botond, Czirók Tamás, Hauber Henrik, Kovács Kinga, Kovács Kristóf , Köpenczei Csanád, Mészáros Ádám, Mozolai Bende Bruno, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Vágány Zoltán , Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: Beke Bálint, Csapó Tamás, Dóra Márton, Gábriel Tamás, Kürti Gergely, Molnár Kristóf, Papp Marcell Imre, Szabó Márton, Vincze Farkas Csongor, Yokota Adan. 2 pontot kapott: 9 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2021. novemberi fizika feladatai