 |
A P. 5377. feladat (2022. január) |
P. 5377. Három, egyenként \(\displaystyle q\) elektromos töltésű, pontszerű testet egy egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban rögzítünk. Mekkora \(\displaystyle Q\) töltésű pontszerű testet kell elhelyeznünk a háromszög középpontjában, hogy a rögzítés feloldása után mindegyik töltés nyugalomban maradjon?
Közli: Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. február 18-án LEJÁRT.
I. megoldás. Ha a háromszög oldalainak hossza \(\displaystyle a\), akkor két-két, \(\displaystyle q\) nagyságú töltés között \(\displaystyle kq^2/a\) erő hat. A háromszög középpontja és a csúcspontok távolsága \(\displaystyle a/\sqrt3\), így a \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle Q\) (előjeles) nagyságú töltések között ható erő \(\displaystyle 3kqQ/a^2\).
A csúcspontban lévő bármelyik töltésre ható erők eredője akkor nulla, ha
\(\displaystyle k\frac{q^2}{a^2}\cdot \sqrt3+3k\frac{qQ}{a^2}=0,\qquad \text{azaz} \qquad Q=-\frac{1}{\sqrt{3}}q.\)
(Az egyensúlyi helyzet instabil, bármelyik töltés kicsiny elmozdítása után a töltések szétszaladnak, esetleg összetalálkoznak.)
II. megoldás. A töltésrendszer potenciális energiája
\(\displaystyle {\cal E}=3k\frac{q^2}{a}+3k\frac{qQ}{a/\sqrt{3}}=\frac{3kq}{a}\left(q+\sqrt{3}Q\right).\)
Ha a töltésrendszer egyensúlyban van, akkor \(\displaystyle a\) kicsiny változására \(\displaystyle {\cal E}\) nem változhat meg. Ez akkor teljesül, ha a fenti képletben a zárójelben álló kifejezés nulla, vagyis \(\displaystyle Q=-q/\sqrt{3}\).
Statisztika:
62 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bányai Kristóf, Beke Bálint, Csonka Illés, Dóra Márton, Elekes Dorottya, Fajszi Karsa, Ferencz Kamilla, Kovács Kinga, Kürti Gergely, Marozsi Lenke Sára, Mészáros Ádám, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Pethő Dorottya, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Toronyi András, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Bacsó Dániel, Bálint Máté, Biebel Botond, Brezina Gergely, Füles Ferenc, Hegedűs Máté Miklós, Hetényi Klára Tímea, Jirkovszky-Bari László, Juhász Júlia, Juhász-Molnár Erik, Kohut Márk Balázs, Nagy 456 Imre, Sándor Dominik, Tatár Ágoston, Vágó Botond, Varga Mária Krisztina, Veszprémi Rebeka Barbara, Vig Zsófia. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 8 dolgozat.
A KöMaL 2022. januári fizika feladatai