A P. 5381. feladat (2022. január)

P. 5381. Egy üvegből készült (szigetelő) edény higannyal van töltve. A higanyba egy függőleges, \(\displaystyle d=0{,}5\) mm átmérőjű kapilláris cső merül az ábrán látható módon. A higany felszíne fölé \(\displaystyle h=6\) mm magasságban egy nagy kiterjedésű, vízszintes fémlemezt helyeztünk. Mennyivel változik meg a kapilláris csőben a higanyszint, ha a fémlemez és a higany közé \(\displaystyle U=20\) kV egyenfeszültséget kapcsolunk?

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(6 pont)

A beküldési határidő 2022. február 18-án LEJÁRT.

Megoldás. A higany felszíne felett a bekapcsolt egyenfeszültség miatt

\(\displaystyle E=\frac{U}{h}\)

erősségű elektromos tér alakul ki. A kapilláris belsejében – mint egy majdnem zárt Faraday-kalickában – jó közelítéssel nulla az elektromos térerősség. (Ez abból is következik, hogy a kapilláris cső közvetlen közelében a higany ekvipotenciális, tehát a térerősség ott nulla, és ez a vékony cső belsejében sem tud megváltozni, hiszen az elektrosztatikus mező forrásmentes és örvénymentes.)

Az elektromos tér hatására a higany felületén elektromos töltések jelennek meg, melyek felületi sűrűsége a Gauss-féle fluxustörvény szerint

\(\displaystyle \sigma=\varepsilon_0 E.\)

Az elektromos mező ezekre a felületi töltésekre felületegységenként

\(\displaystyle p=\frac{1}{2}\sigma E=\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2=\frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{U}{h}\right)^2\)

húzóerőt fejt ki, annak iránya nem függ a feszültségforrás polaritásától. (Az 1/2-es faktor onnan származik, hogy a higany felett \(\displaystyle E\) erősségű az elektromos tér, a higanyban nulla, átlagosan tehát \(\displaystyle \tfrac12 E\) térerősség hat a felületi töltésekre.)

Az elektromos húzóerő hatására a higanyban mindenhol, így a kapilláris alsó végével megegyező mélységben is lecsökken a nyomás \(\displaystyle p\) értékkel. A kapillárisban (amelyben lévő higanyra nem hat elektromos húzóerő) akkor csökken a nyomás ugyanennyivel, ha a csőben a higanyszint valamekkora \(\displaystyle y\) értékkel mélyebbre süllyed, és

\(\displaystyle \varrho g y=\frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{U}{h}\right)^2.\)

Innen

\(\displaystyle y=\varepsilon_0\frac{U^2}{2\varrho gh^2}=0{,}36~\rm mm.\)

Látható, hogy az eredmény (a süllyedés mértéke) nem függ sem a kapilláris átmérőjétől, sem a feszültség előjelétől, de még a higany felületi feszültsége és az illeszkedési szöge sem játszik szerepet.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kürti Gergely, Nemeskéri Dániel, Téglás Panna.
5 pontot kapott:	Schmercz Blanka.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2022. januári fizika feladatai