A P. 5400. feladat (2022. április)

P. 5400. A kis herceg egyik gömb alakú bolygója olyan gyorsan forog a tengelye körül, hogy az egyenlítőjén nulla a nehézségi gyorsulás. Milyen irányban nőnek a fák a bolygón?

(4 pont)

A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a bolygó sugarát \(\displaystyle R\)-rel, forgási szögsebességét \(\displaystyle \omega\)-val. A bolygó egyenlítőjén akkor nulla a nehézségi gyorsulás, ha egy \(\displaystyle m\) tömegű testre ható gravitációs erő nagysága a bolygó felszínén \(\displaystyle F=mR\omega^2\).

1. ábra

Vizsgáljuk meg ezek után, hogy mekkora \(\displaystyle \boldsymbol G\) erővel tudunk egy \(\displaystyle m\) tömegű testet a forgásban lévő bolygóhoz képest nyugalomban tartani a bolygó \(\displaystyle \alpha\) szöggel jellemzett szélességi körénél (1. ábra). Ha ennek az erőnek a forgástengely irányú komponense \(\displaystyle G_1\), a forgástengelyre merőleges komponense pedig \(\displaystyle G_2\), akkor az \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenlete:

\(\displaystyle F\cos\alpha-G_2=m(R\cos\alpha)\,\omega^2,\)

illetve

\(\displaystyle F\sin\alpha-G_1=0.\)

\(\displaystyle F\) nagyságának ismeretében megállapíthatjuk, hogy

\(\displaystyle G_2\equiv 0, \qquad \text{illetve}\qquad G_1=mR\omega^2\,\sin\alpha.\)

A testre ható nehézségi erő \(\displaystyle -\boldsymbol G\), a \(\displaystyle \boldsymbol g=-\boldsymbol G/m\) vektor pedig nehézségi gyorsulás ezen a bolygón. A nehézségi gyorsulás komponensei:

\(\displaystyle g_1=-R\omega^2\,\sin\alpha \qquad \text{és} \qquad g_2=0.\)

Látjuk, hogy a nehézségi gyorsulás a bolygó forgástengelyével párhuzamos vektor, amelynek nagysága az egyenlítőtől távolodva egyre nagyobbá válik (2. ábra).

2. ábra

Feltételezve, hogy a fák ezen a bolygón is – a földi körülményekhez hasonlóan – a nehézségi erővel ellentétes irányban nőnek, valamennyi fa a bolygó forgástengelyével párhuzamosan, az egyenlítőtől távolodva növekedne.

Megjegyzések. 1. Az egyenlítő mentén – a súlytalanság állapotában – feltehetően egyáltalán nem nőnének fák.

2. Egy ilyen bolygónak nem lehetne légköre, hiszen azt a furcsa nehézségi erőtér az egyenlítőhöz húzná, és onnan könnyen ,,megszökhetne''. Hasonló sorsra jutna a bolygón az esetleg ott lévő víz is.

Statisztika:

30 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Bálint, Josepovits Gábor, Kovács Kristóf , Mészáros Ádám, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Toronyi András, Waldhauser Miklós.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai