 |
A P. 5407. feladat (2022. április) |
P. 5407. A CERN egyik lineáris gyorsítójában kezdetben állónak tekinthető protonokat gyorsítanak \(\displaystyle L=30{,}0\) m hosszú úton \(\displaystyle U=500~\)MV feszültséggel. Feltehetjük, hogy a gyorsítóban az elektromos tér homogén. Mennyi idő alatt teszik meg a protonok az \(\displaystyle L\) távolságot? (Lásd még a ,,Relativisztikus impulzus, relativisztikus mozgási energia'' c. rövid cikket honlapunkon.)
Svájci versenyfeladat
(5 pont)
A beküldési határidő 2022. május 16-án LEJÁRT.
Megoldás. A proton nyugalmi energiáját célszerű a részecskefizikában használatos GeV (gigaelektronvolt) egységben megadni:
\(\displaystyle E_0=mc^2=0{,}938~\text{GeV}.\)
A proton energiája \(\displaystyle U=0{,}5~\rm GV\)-os gyorsítófeszültség hatására \(\displaystyle eU=0{,}5~\rm GeV\) értékkel növekszik, tehát \(\displaystyle E=1{,}438\) GeV nagyságú lesz.
A részecskék relativisztikus impulzusa (lendülete) az
\(\displaystyle E^2=(pc)^2+(mc^2)^2 \)
összefüggés alapján számítható ki. Esetünkben, a felgyorsított protonoknál
\(\displaystyle p_\text{max}=\frac{1}{c}\sqrt{E^2-(mc^2)^2}\approx \frac{1{,}090~\rm GeV}{c}.\)
A Newton-törvény relativisztikus megfelelője (a relativisztikus mozgásegyenlet) szerint a részecskére ható erő az időegységre eső impulzusváltozással egyenlő. Esetünkben (homogén elektromos mezőben mozgó protonra)
\(\displaystyle \frac{\Delta p}{\Delta t}=e\frac{U}{L}=\text{állandó},\)
vagyis
\(\displaystyle p(t)= \frac{eU}{L}t.\)
Ismerjük a felgyorsított proton maximális impulzusát, ebből a repülés idejét is könnyen megkaphatjuk:
\(\displaystyle T=\frac{p_\text{max}L}{eU}=\frac{1{,}090~{\rm GeV}\cdot 30~{\rm m}}{(0{,}5~{\rm GeV})\,(3\cdot 10^8~{\rm m/s}) } =218~ \rm ns.\)
Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Gábriel Tamás, Hauber Henrik, Kürti Gergely, Téglás Panna, Toronyi András. 4 pontot kapott: Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. áprilisi fizika feladatai