 |
A P. 5418. feladat (2022. szeptember) |
P. 5418. Két különböző szögben, de megegyező kezdősebességgel elrúgott labda azonos távolságban ért földet. A magasabb pályán haladó labda kétszer annyi ideig repült, mint a másik. Hogyan aránylik egymáshoz a két pálya csúcsmagassága? Milyen szögek alatt rúgták el a labdát?
Példatári feladat nyomán
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. október 17-én LEJÁRT.
Megoldás. A labdák vízszintesen egyenletes mozgást végeznek, függőlegesen pedig \(\displaystyle g\) gyorsulással mozognak, így a \(\displaystyle h\) csúcsmagasság és a mozgás \(\displaystyle T\) ideje közötti kapcsolat:
\(\displaystyle h=\frac{g}{2}\left(\frac{T}{2}\right)^2.\)
Innen látszik, hogy a kétszer hosszabb időtartamú mozgás pályájának csúcsmagassága 4-szer nagyobb.
Jelöljük az elrúgások indulási szögét (a vízszintestől mérve) \(\displaystyle \alpha\)-val és \(\displaystyle \beta\)-val (\(\displaystyle \alpha>\beta\)), a labda kezdősebességét pedig \(\displaystyle v\)-vel. A meredekebben elrúgott labda \(\displaystyle 2T\) ideig, a laposabban elrúgott pedig \(\displaystyle T\) ideig mozog. A labdák sebességének függőleges komponense a mozgás végére egyenletesen, \(\displaystyle g\) gyorsulással az ellentettjére változik, így
\(\displaystyle \frac{v\sin\alpha-(-v\sin\alpha)}{2T}=g, \qquad \text{illetve}\qquad \frac{v\sin\beta-(-v\sin\beta)}{T}=g.\)
Innen következik, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \sin\alpha=2\sin\beta.\) |
A labdák vízszintes irányban egyenletesen mozognak és ugyanolyan messzire repülnek:
\(\displaystyle (2T)v\cos\alpha=vT\cos\beta,\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 2\cos\alpha=\cos\beta.\) |
Az (1) és (2) egyenlet szorzatából
\(\displaystyle \sin(2\alpha)=\sin(2\beta).\)
Ennek \(\displaystyle \alpha>\beta\) feltétel melletti megoldása:
\(\displaystyle 2\beta=180^\circ-2\alpha,\qquad \text{vagyis}\qquad \alpha+\beta=90^\circ.\)
Ezt (1)-be visszahelyettesítve
\(\displaystyle \tg \alpha=2,\qquad \alpha=63{,}4^\circ,\qquad \beta=26{,}6^\circ\)
eredmény adódik.
Statisztika:
100 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 62 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 4 dolgozat.
A KöMaL 2022. szeptemberi fizika feladatai