 |
A P. 5426. feladat (2022. szeptember) |
P. 5426. A fotonrakéta olyan elképzelt rakéta, amelynek hajtóműve az üzemanyagot fotonokká alakítja, majd azokat egyirányban, párhuzamosan kilövelli. Egy hosszútávú űrutazás során a rakéta nyugalomból indulva egyenes pályán haladva felgyorsul valamekkora sebességre, majd a hajtóművét az ellenkező irányban üzemeltetve az úticélig fékezve megáll. Ezalatt a rakéta tömege negyedére csökken. Mekkora volt a rakéta maximális sebessége?
(A relativisztikus dinamikáról rövid cikk olvasható a KöMaL honlapján.)
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(6 pont)
A beküldési határidő 2022. október 17-én LEJÁRT.
I. megoldás. Írjuk le a történteket abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a rakéta kezdetben (és a megérkezésekor is) áll.
Legyen a rakéta tömege az induláskor \(\displaystyle 4M\), a hajtómű megfordításakor \(\displaystyle M^*\), a megérkezéskor pedig \(\displaystyle M\). Mivel a fékezés során a sebességváltozás ugyanakkora, mint a gyorsítás alatti sebességváltozás, a tömeg relatív csökkenése is ugyanakkora kell hogy legyen:
\(\displaystyle \frac{4M}{M^*}=\frac{M^*}{M}, \qquad \text{vagyis}\qquad M^*=2M.\)
A rakéta impulzusának megváltozása (ami megegyezik a fotonok által elvitt impulzus \(\displaystyle (-1)\)-szeresével) ugyanakkora nagyságú a gyorsítási szakaszban, mint a lassításkor. Ezek szerint a fotonok által elvitt energia is megegyezik a két szakaszban (hiszen a foton energiája arányos az impulzusával), így a rakéta energiaváltozása is ugyanakkora a gyorsítási szakaszban, mint a fékezésnél. Ha a kérdéses időpontban a rakéta energiája \(\displaystyle E^*\), akkor
\(\displaystyle 4Mc^2-E^*=E^*-Mc^2,\qquad \text{vagyis}\qquad E^*=2{,}5\, Mc^2,\)
ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség vákuumban.
Az energia, a nyugalmi tömeg és a sebesség közötti összefüggés szerint
\(\displaystyle E^*=\frac{M^*c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\)
azaz
\(\displaystyle 2{,}5 Mc^2=\frac{2M c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\)
Innen kapjuk, hogy
\(\displaystyle \frac{v}{c}=\frac{3}{5}, \qquad v=0{,}6\,c=180\,000~\frac{\rm km}{\rm s}.\)
II. megoldás. Legyen a rakéta energiája a hajtómű megfordításakor \(\displaystyle E^*\), az impulzusa pedig \(\displaystyle p^*\). (Ezek a mennyiségek abban a koordináta-rendszerben értendők, amelyből nézve a rakéta kezdetben állt.)
Alkalmazzuk az energia- és az impulzusmegmaradás (relativisztikus) törvényeit. A fotonok által elvitt impulzus nagysága mindkét szakaszban \(\displaystyle p^*\), az elvitt energia pedig \(\displaystyle p^*c\). A megmaradási törvények szerint
\(\displaystyle 4Mc^2-E^*=E^*-Mc^2,\qquad \text{vagyis}\qquad E^*=\frac52\, Mc^2,\)
továbbá
\(\displaystyle 4Mc^2-\frac52\, Mc^2= p^*c,\qquad \text{tehát}\qquad p^*=\frac32 Mc.\)
Az energia, az impulzus és a sebesség közötti relativisztikus kapcsolat:
\(\displaystyle p^*=\frac{E^*}{c^2}v, \qquad \text{ahonnan}\qquad v=\frac{p^*c^2}{E^*}=\frac{\frac{3}{2}Mc}{\frac{5}{2}M}=\frac{3}{5}c.\)
Statisztika:
22 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bencz Benedek, Kollmann Áron Alfréd, Lincoln Liu, Nemeskéri Dániel. 5 pontot kapott: Papp Marcell Imre, Schmercz Blanka. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. szeptemberi fizika feladatai