 |
A P. 5441. feladat (2022. november) |
P. 5441. Egy fémdrótból kört formáztunk, és ugyanabból a drótból az egyik húrt is szeretnénk elkészíteni a kör két pontja közé. Hol fusson a húr, hogy a lehető legnagyobb legyen az eredő ellenállás a húr két végpontja között, és mekkora lesz az eredő ellenállás ebben az esetben? Jelölje \(\displaystyle R\) a sugárhosszúságú drót ellenállását.
Közli: Gáspár Merse Előd, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2022. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Három párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredőjéről van szó.
Ezek (az ábrán látható \(\displaystyle \varphi\) szöggel kifejezve)
\(\displaystyle R_1=2R\cos\varphi,\qquad R_2=R(\pi-2\varphi), \qquad R_3=R(\pi+2\varphi),\)
és
\(\displaystyle \frac1{R_\text{eredő}}=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}+\frac1{R_3}=\frac1{R}\left(\frac1{2\cos\varphi}+\frac{2\pi}{\pi^2-4\varphi^2}\right).\)
A fenti kifejezés zárójelében álló mindkét tört nevezője \(\displaystyle \varphi=0\)-nál a legnagyobb, a zárójeles kifejezés tehát \(\displaystyle \varphi=0\)-nál a legkisebb, értéke \(\displaystyle \frac12+\frac2\pi\). Ennek megfelelően az eredő ellenállás legnagyobb értéke
\(\displaystyle R_\text{eredő}^ \text{(max)}= \frac{2\pi}{4+\pi}R\approx 0{,}88\,R.\)
Statisztika:
34 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bencz Benedek, Bernhardt Dávid, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Csonka Illés, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Klement Tamás, Kovács Kristóf , Molnár Kristóf, Nagy 456 Imre, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Márton, Tárnok Ede , Tomesz László Gergő, Waldhauser Miklós. 3 pontot kapott: Chrobák Gergő, Flóring Balázs, Nemeskéri Dániel, Osváth Emese, Szanyi Attila, Szécsényi-Nagy Rudolf. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2022. novemberi fizika feladatai