A P. 5493. feladat (2023. május)

P. 5493. A James Webb űrtávcső az úgynevezett \(\displaystyle \mathrm{L}_2\) Lagrange-pont közelében, a Földdel szinkronban járja körül a Napot. Ez a pont a Nap-Föld egyenesen, a Földtől nagyjából másfél millió kilométerre helyezkedik el a Földnek a Nappal ellentétes oldalán, és arról nevezetes (a többi Lagrange-ponttal együtt), hogy az oda helyezett testek ,,többé-kevésbé'' a Földdel együtt mozogva ,,helyben maradnak''. Egyszerűsített számolással mutassuk meg, hogy valóban ilyen messze van a Földtől az \(\displaystyle \mathrm{L}_2\) Lagrange-pont!

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2023. június 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Közelítsük a Föld Nap körüli mozgását \(\displaystyle r\) = 150 millió km sugarú körpályával, továbbá a Föld és az L\(\displaystyle _2\) Lagrange-pont távolsága legyen \(\displaystyle h\). Ekkor az L\(\displaystyle _2\) Lagrange-pontba helyezett \(\displaystyle m\) tömegű testre a Nap és a Föld gravitációs ereje ugyanabba az irányba hat, és ezek szolgáltatják a körpályán tartáshoz szükséges erőt (a Hold hatását elhanyagoljuk):

\(\displaystyle \gamma\frac{mM_{\textrm{Nap}}}{(r+h)^2}+\gamma\frac{mM_{\textrm{Föld}}}{h^2}=m(r+h)\omega^2=m(r+h)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)

Az \(\displaystyle m\) tömeggel tudunk egyszerűsíteni:

\(\displaystyle \gamma\frac{M_{\textrm{Nap}}}{(r+h)^2}+\gamma\frac{M_{\textrm{Föld}}}{h^2}=(r+h)\omega^2=(r+h)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.\)

Ezek után a legegyszerűbb az, ha a fenti egyenlet bal és jobb oldalába is behelyettesítjük az ismert adatokat, beleértve a feltételezett \(\displaystyle h\) = 1,5 millió km-es távolságot is. A bal oldal esetén \(\displaystyle 5,96\,\cdot\,10^{-3}\) N/kg-ot kapunk, míg a jobb oldal \(\displaystyle 6,01\,\cdot\,10^{-3}\) N/kg-nak adódik. Az egyezés 1%-on belüli, tehát jó közelítssel igazoltuk az állítást.

II. megoldás. Mérjük a távolságokat CsE (Nap-föld távolság), a tömegeket naptömeg egységben, az időt pedig olyan egységben, hogy a gravitációs állandó is 1 legyen. A Föld tömege ilyen egységrendszerben \(\displaystyle \tfrac1{330\,000}\) lesz.

A Földre felírható mozgásegyenletből adódik, hogy a keringés szögsebessége: \(\displaystyle \omega=1\). A \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenlete, ha a Földtől \(\displaystyle x\) távolságban a Földdel együtt kerint ugyancsak \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel:

\(\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2}+\frac1{330\,000\ x^2}=1+x.\)

A Föld tömege a Naphoz képest nagyon kicsi, így feltehetjük, hogy \(\displaystyle x\ll 1\), és ezért \(\displaystyle \frac{1}{(1+x)^2}\approx 1-2x.\) Ekkor a mozgásegyenlet:

\(\displaystyle \frac1{330\,000\ x^2}=3x,\)

vagyis

\(\displaystyle x= \sqrt [3]{\frac1{3\cdot 330\,000 }}=0{,}01,\)

ami a szokásos SI egységekben valóban \(\displaystyle 1{,}5\ \text{millió km}.\)

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Bálint, Bocor Gergely, Bodré Zalán, Csernyik Péter, Csilling Dániel, Fehérvári Donát, Halász Henrik, Klement Tamás, Lévai Dominik Márk, Schmercz Blanka, Seprődi Barnabás Bendegúz, Tomesz László Gergő.
3 pontot kapott:	Beke Botond, Bencz Benedek, Boér Panna Rita, Dancsák Dénes, Dercsényi Bence, Éger Viktória, Gerendás Roland, Hegedűs Máté Miklós, Kaszonyi Márk, Kis Márton Tamás, Kissebesi Máté, Lengyel Szabolcs, Molnár Kristóf, Nemeskéri Dániel, Waldhauser Miklós.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2023. májusi fizika feladatai