 |
A P. 5497. feladat (2023. május) |
P. 5497. Tekintsük a hidrogénatom Thomson-féle atommodelljét. A hidrogénatom sugara kb. 50 pm.
\(\displaystyle a)\) Hol lehet egyensúlyban az elektron?
\(\displaystyle b)\) Mekkora frekvenciával rezeg az elektron ezen egyensúlyi helyzet körül? A színkép milyen tartományába esik az ilyen frekvenciájú fény?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2023. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A Thomson-féle atommodell szerint a pozitív töltés egyenletesen oszlik el az atomban, ennek megfelelően a hidrogénatomban a pozitív töltéssűrűség
\(\displaystyle \varrho=\frac{3e}{4\pi r_0^3} \)
(ahol \(\displaystyle e\) az elemi töltés, \(\displaystyle r_0\) az atom sugara). Ismeretes, hogy egy egyenletesen töltött gömbhéj a belsejében elhelyezett töltésre nem fejt ki erőt, és az is, hogy a gömbszimmetrikusan elhelyezkedő töltések tere kívül olyan, mintha az összes töltés a gömb középpontjában lenne. Eszerint a középponttól \(\displaystyle r\) távolságra lévő elektronra
\(\displaystyle F=-\frac{ke(\varrho 4\pi r^3/3)}{r^2}=-\frac{ke^2}{r_0^3}r \)
sugár irányú erő hat. E modellben tehát az elektron egyensúlyban a középpontban helyezkedne el, onnan kimozdítva pedig
\(\displaystyle D=\frac{ke^2}{r_0^3} \)
direkciós erőnek megfelelő harmonikus rezgőmozgást végezne. (Itt \(\displaystyle k\) a Coulomb-állandó.)
Megjegyzés. Az erőtér centrális, ezért az impulzusmomentum megmarad, tehát az eletron mozgásának síkja nem változik. A legáltalánosabb mozgás két tetszőlegesen felvett egymásra merőleges egyenes mentén végzett azonos körfrekvenciájú, de eltérő amplitúdójú és fázisú harmonikus rezgés eredője.
Az elektron tömegét \(\displaystyle m\)-mel jelölve a megfelelő rezgésidő és frekvencia
\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{mr_0^3}{ke^2}},\qquad \textrm{illetve}\qquad f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{ke^2}{mr_0^3}}. \)
Az adatokat behelyettesítve \(\displaystyle f=7{,}16\cdot 10^{15}\ {\rm Hz}\) adódik, az ilyen frekvenciájú fény az ultraibolya tartományba esik.
Statisztika:
23 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Beke Bálint, Bencz Benedek, Bocor Gergely, Bodré Zalán, Chrobák Gergő, Halász Henrik, Hoós János, Klement Tamás, Merics Vilmos, Nemeskéri Dániel, Schmercz Blanka, Sipeki Árpád, Szabó Zsombor, Tárnok Ede , Vágó Botond. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2023. májusi fizika feladatai