A P. 5563. feladat (2024. április)

P. 5563. Az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle m\) tömegű, kis méretű testeket \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonállal kötjük össze. A \(\displaystyle M\) tömegű testhez egy másik fonalat is erősítünk, és annak felső végét kicsiny amplitúdóval, \(\displaystyle T\) periódusidejű harmonikus rezgőmozgással vízszintesen mozgatjuk. Mekkora \(\displaystyle \ell\) hossz esetén maradhat a rezgetett fonál mindvégig függőleges?

Kvant

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle m\) tömegű testekből álló rendszerre ható külső erőknek (a függőleges fonál által kifejtett erőnek és a nehézségi erőknek) nincs vízszintes összetevője, emiatt a rendszer tömegközéppontja, amely az alsó testtől \(\displaystyle \ell'=\frac{M}{M+m}\ell\) távolságra van, vízszintes irányba nem mozdul el. (A tömegközéppont függőleges elmozdulása ugyancsak nullának tekinthető, hiszen a lengés amplitúdója kicsi, a függőleges elmozdulás pedig másodrendűen kicsi.) A tömegközéppontnál a fonalat akár rögzíthetjük is, hiszen úgysem mozdul el. Így egy \(\displaystyle \ell'\) hosszúságú matematikai ingát kapunk, amelynek lengésideje

\(\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{\ell'}{g}}=2\pi\sqrt{\frac{\ell M}{(M+m)g}}.\)

Ezek szerint

\(\displaystyle \ell=g\left(1+\frac{m}{M}\right)\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2.\)

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó András, Csiszár András, Czirják Márton Pál, Dobos Anita, Hegedüs Márk, Seprődi Barnabás Bendegúz, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2024. áprilisi fizika feladatai