 |
A P. 5567. feladat (2024. április) |
P. 5567. Vákuumba helyezett, peremes kialakítású, \(\displaystyle h\) magasságú, hőszigetelő tartály vízszintes asztalon áll. A tartályban kezdetben \(\displaystyle p_0\) nyomású gáz található, melyet felülről egy hőszigetelő, könnyű dugattyú zár le, a tartály magasságának felénél pedig hővezető, vékony, könnyű dugattyú található. A tartály felső felében egyatomos, alul kétatomos gáz található. A felső dugattyúra óvatosan egy nagyon nehéz terhet helyezünk, majd elengedjük azt. A dugattyúk mozgása – a gázok belső súrlódása miatt – jónéhány lengés után megáll. Hol helyezkednek el a dugattyúk az egyensúlyi helyzetükben?
Közli: Berke Martin, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. május 15-én LEJÁRT.
Megoldás. A tartály fala és a felső dugattyú hőszigetelő, a tartály körül vákuum van, így a tartályban lévő gázokból és a ráhelyezett ,,nagyon nehéz'' testből álló rendszer összenergiája állandó.
Az elválasztó dugattyú könnyű és hővezető, így egyensúlyban a két térrészben a gázok nyomása és hőmérséklete is megegyezik. Kezdetben a két térrész térfogata egyforma (tehát az azonos nyomás és hőmérséklet miatt a két térrészben a gázok anyagmennyisége is ugyanakkora), így a végső egyensúlyban is azonos lesz a térfogatuk. Jelöljük az alsó dugattyú keresett magasságát \(\displaystyle x\)-szel, akkor a felső dugattyú magassága \(\displaystyle 2x\) lesz.
Írjuk fel az energiamegmaradást a kezdeti és végső egyensúlyi állapotokra:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{3}{2}p_0\frac{h}{2}A+\frac{5}{2}p_0\frac{h}{2}A+Mg(h-2x)=\frac{3}{2}pxA+\frac{5}{2}pxA,\) |
ahol \(\displaystyle A\) a henger keresztmetszete, \(\displaystyle M\) a ráhelyezett test tömeg, \(\displaystyle g\) a nehézségi gyorsulás, \(\displaystyle p\) pedig a gázok nyomása a végső egyensúlyi állapotban. Egyensúlyban a test súlyát a dugattyúnak kell megtartania, ezért
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle Mg=pA.\) |
(2)-t (1)-be beírva és rendezve:
\(\displaystyle x=\frac{p+2p_0}{6p}h.\)
A feladat szövege szerint a ráhelyezett test ,,nagyon nehéz'', így
\(\displaystyle p=\frac{Mg}{A}\gg p_0,\)
azaz
\(\displaystyle p+2p_0\approx p\qquad\textrm{és}\qquad x=\frac{h}{6}.\)
A dugattyúk tehát az egyensúlyi helyzetükben a tartály aljától \(\displaystyle h/6\) és \(\displaystyle h/3\) magasságban lesznek.
Statisztika:
19 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bencz Benedek, Debreceni Dániel, Szabó Donát, Tóth Kolos Barnabás. 4 pontot kapott: Csapó András, Csiszár András, Erős Fanni, Fajszi Karsa, Fehérvári Donát, Sütő Áron. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2024. áprilisi fizika feladatai