[2318] Sirpi | 2007-09-20 13:10:39 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/13/4_Dwus.jpg) Mármint n=0-tól megy az indexelés, nem? Viszont jelen esetben tényleg igaz, hogy an n!/e, hiszen a 0. és első tag összege: (-1)0/0!+(-1)1/1!=1-1=0, tehát tényleg elég a 2. tagtól összegezni.
|
Előzmény: [2316] nadorp, 2007-09-20 13:07:02 |
|
|
|
[2315] rizsesz | 2007-09-20 12:54:28 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Köszönöm mindkettőtöknek, tetszenek. Egyébként ez a rekurzió a következő feladatnál került elő: Hányféleképpen lehet sorba rakni az 1, 2, ... n számokat, hogy semelyik se a saját értékének megfelelő helyen szerepeljen? Erre jött ki, hogy n= 2, 3, 4, 5 értékére 1, 2, 9, 44 a sorbarendezések száma, és ez összhangban van a rekurzióval (csak még ki kéne találni a származtathatóságot). Egyébként kedves nadorp, a talált képlet nem Taylor-sora semminek?
|
Előzmény: [2314] nadorp, 2007-09-20 11:26:51 |
|
[2314] nadorp | 2007-09-20 11:26:51 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Tehat, a1=0,a2=1 és an+1=n(an+an-1) ( Ekkor persze a3=2, mint az eredeti kiírásban).
Legyen . Ekkor b1=0, .
, azaz
. Innen indukcióval
.
Ha most a fenti összefüggést elvégezzük k=2,3,...(n+1) értékekre és összeadjuk ezeket, akkor
, azaz
![a_n=n!\sum_{k=2}^n\frac{(-1)^k}{k!}](keplet.cgi?k=BCB1FCF206F9BA2B)
|
Előzmény: [2312] rizsesz, 2007-09-20 09:14:10 |
|
|
|
|
[2310] rizsesz | 2007-09-20 08:50:54 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Te ezt írtad: a4=(a2+a3)(3-1)=(1+2)*2=6. Én ezt: a4=(a2+a3)(4-1)=(1+2)*3=9. Az indexálással tolódik az n-1-es szorzó is.
|
|
|
|
[2307] rizsesz | 2007-09-20 08:06:28 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Fontosak az alsó indexek. Itt a4=9.
|
|
|
[2305] rizsesz | 2007-09-19 22:49:04 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Sziasztok. Meg tudnátok mondani az a2=1, a3=2 an+1=(an+an-1)*(n-1) rekurzió megoldását mondani?
|
|
|
|
|
[2301] BohnerGéza | 2007-09-19 09:35:31 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/213/1_mXI2.jpg) Szerintem a fehér pontok esetén sem általános, hanem hegyesszögű háromszöget kapunk! Vége! Talán az AB-n van C, akkor nem hegyes-, nem derék- és nem tompaszögű az ABC.
|
Előzmény: [2299] jonas, 2007-09-18 23:01:11 |
|
[2300] SmallPotato | 2007-09-19 07:19:19 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/2539/1_GV8c.jpg) Örömmel látom, hogy esetenkénti bénázásom mily mély matematikai alapokon nyugszik. :-)
Soha nem jutott eszembe, hogy vizsgáljam az okokat ... de az ábra és a kommentár valóban meggyőző!
|
Előzmény: [2299] jonas, 2007-09-18 23:01:11 |
|
[2299] jonas | 2007-09-18 23:01:11 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/396/3_nsJ9.jpg) Igen, ismert tétel, hogy általános háromszöget nehéz rajzolni. Reiman tanár úr ezt a következő módon bizonyította.
Rögzíthetjük a háromszög két csúcsát, mivel hasonlóság erejéig nem változtat a feladaton. Nézzük meg, hova rakhatjuk a harmadik pontot. A piros területek ki vannak zárva, mivel akkor tompaszögű lenne a háromszög. Ki van zárva az őket határoló piros vonalak környéke is, hiszen akkor majdnem derékszögű lenne a háromszög. A kék vonalak környéke pedig azért van kizárva, mert akkor majdnem egyenlőszárú lenne a háromszög. Nagyon magasra sem érdemes rakni a csúcsot, mert akkor csúnyán megnyúlt háromszöget kapunk, amit ráadásul könnyebben lehet egyenlőszárúnak nézni, mivel két oldala közel azonos hosszú.
Az pedig látható, hogy így nem marad sok hely, ahova a harmadik pontot le lehetne tenni.
|
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/82/42/6d/ea31366315337253954f802e42-396.jpg) |
Előzmény: [2295] SmallPotato, 2007-09-18 19:42:39 |
|
[2298] jonas | 2007-09-18 22:23:50 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/396/3_nsJ9.jpg) Egyébként nem az otthoni gépemen fut, noha az is elég jó gép, de az egyetem kétszer két magos AMD procis gépe gyorsabb.
|
|
[2297] jonas | 2007-09-18 22:21:41 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/396/3_nsJ9.jpg) Érdekes.
Nekem most már csak azt kell ellenőriznem, hogy a heurisztikusan közelítő programom, ami a [2279] hozzászólás tizenháromjegyű megoldásait találta, minden megoldást megtalált-e (eltekintve az ismétlésektől).
Ez a program úgy működött, hogy az x=a(10m-1)/b kifejezésbe helyettesített be olyan kis számokat, ahol m osztja b-1-et, majd ellenőrizte a kapott x-et.
Elég sok megoldást megadott, a legtöbbet sokféle paraméterekkel újra meg újra.
|
Előzmény: [2296] Sirpi, 2007-09-18 19:59:47 |
|
[2296] Sirpi | 2007-09-18 19:59:47 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/13/4_Dwus.jpg) Na, megvan az összes megoldás, a gép pihenhet (és végre Nektek se kell tovább olvasgatnotok a fejtegetéseimet :-) )
Szóval odáig jutottam, hogy , és 2 k b 9
Tegyük fel, hogy adott k-ra van megfelelő b és m. Ekkor
![10a + b = \frac{10b}{10k-1}(10^m-k) + b =](keplet.cgi?k=CA715D6A79F000DA)
![= \frac b{10k-1}10^{m+1} - \frac{10k}{10k-1}b + \frac{10k-1}{10k-1}b = \frac b{10k-1}(10^{m+1}-1)](keplet.cgi?k=74C7A60D4A80AD4F)
Ha a 10k-1 prím, akkor olyan m kell, amire 10m k(mod10k-1), de ekkor 10m+1 10k 1(mod10k-1). Vagyis ha m+1-esével növelem a kitevőt, akkor mindig új megoldásokat kapok, és azt is könnyű látni, hogy ezek mind az alapmegoldás egymás után írásai lesznek, hiszen
![\frac b{10k-1}(10^{l(m+1)}-1)= \frac b{10k-1}(10^{m+1}-1)
(1 + 10^{m+1} + \dots + 10^{(l-1)(m+1)})](keplet.cgi?k=B158072F4FBB215E)
és itt az utolsó tényezó kivételével épp az alapmegoldás van felírva, az utolsó tényező pedig 100...0100...01...100...01 alakú, így a vele való szorzás épp az egymás után írást eredményezi,
Ezzel tehát elintéztük a k=9 (10k-1=89), k=8 (79), k=6 (59), k=3 (29), és k=2 (19) eseteket.
Konkrétan a megoldások (a kitevők onnan jönnek, hogy megkerestem a 10m k legkisebb megoldását) (l=1,2,...):
![k=9: \qquad \frac 9{89}(10^{l\cdot 44} - 1)](keplet.cgi?k=A12C9E836F1D826F)
![k=8: \qquad \frac b{79}(10^{l\cdot 13} - 1), \qquad b\geq 8](keplet.cgi?k=0BD838182D57C86C)
![k=6: \qquad \frac b{59}(10^{l\cdot 58} - 1), \qquad b\geq 6](keplet.cgi?k=CD20149BA729BC94)
![k=3: \qquad \frac b{29}(10^{l\cdot 28} - 1), \qquad b\geq 3](keplet.cgi?k=5519189F9272A79C)
![k=2: \qquad \frac b{19}(10^{l\cdot 18} - 1), \qquad b\geq 2](keplet.cgi?k=74FAA279346F58CA)
Marad még a k=7 (69), 5 (49) és 4 (39). A 7 és a 4 egyszerűbb, ugyanis ott az első olyan m index, ahol 10m-k osztható 23-mal illetve 13-mal, egyúttal osztható 69-cel, illetve 39-cel is, tehát ezek a megoldások ugyanolyanok, mint amit a prímeknél kaptunk:
![k=7: \qquad \frac b{69}(10^{l\cdot 22} - 1), \qquad b\geq 7](keplet.cgi?k=0B8B4148391B2B7D)
![k=4: \qquad \frac b{39}(10^{l\cdot 6} - 1), \qquad b\geq 4](keplet.cgi?k=206B10978872464A)
A legérdekesebb a k=5 eset, ugyanis ott 49 a nevező, ezért előfordulhat, hogy a 10m-5 is osztható 7-tel, és b=7. Ezek a köv. megoldások:
![k=5: \qquad \frac 1 7(10^{l\cdot 6} - 1)](keplet.cgi?k=310B729103C5759E)
És van az az eset, mikor 10m-5 osztható 49-cel, ebből a következő megoldások adódnak:
![k=5: \qquad \frac b{49}(10^{l\cdot 42} - 1), \qquad b\geq 5](keplet.cgi?k=7105CC6745E0ADE5)
Ez lenne tehát az összes megoldás, és igérem, leszálltam a feladatról.
|
Előzmény: [2291] Sirpi, 2007-09-18 17:27:20 |
|
[2295] SmallPotato | 2007-09-18 19:42:39 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/2539/1_GV8c.jpg) Csak nem "általános háromszög"et akartál felskiccelni? :-))
(Esetemben a lehetséges kimenetelek: egyenlőszárú, derékszögű, ... és hovatovább a
![\lim_{n\to\infty}(\frac{kedvezo\_esetek\_szama}{lehetseges\_esetek\_szama})=0](keplet.cgi?k=061E0313EA9CA834)
tárgyában merül fel a kérdés :-D)
|
Előzmény: [2294] Yegreg, 2007-09-18 19:29:55 |
|
[2294] Yegreg | 2007-09-18 19:29:55 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/672/4_NmH8.jpg) Igen, szép megoldás, nekem is ez adódott. A kérdés egyébként úgy is lefordítható, hogy "mennyire lehet nem egyenlőszárú egy háromszög?", ebből már sejthető, hogy miért is vetődött fel bennem a feladat. :)
|
|