[32] Hajba Károly | 2003-12-05 23:40:05 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/53/0_ZtXg.jpg) 10. feladat:
Mekkora az alábbi egységnyi oldalú négyzetbe egységnyi sugarú körívekkel szerkesztett sraffozott terület nagysága?
HK
|
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/5e/f7/be/7a52662b8deb3cac090bd3e7a0-53.jpg) |
|
[31] Hajba Károly | 2003-12-05 23:29:05 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/53/0_ZtXg.jpg) 9. feladat:
Adott 4 darab egységsugarú tömör golyónk, mely mindegyik mindegyikkel érintkezik. Mekkora az a tömör 5. golyó, mely mind a 4 darab golyót érinti?
Hajba Károly
|
|
[30] lorantfy | 2003-12-05 23:24:18 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) 9.feladat:
a.) Adott átfogojú derékszögű háromszögek közül melyik kerülete a legnagyobb?
b.) Mekkora az adott kúpba irható hengerek térfogatának maximuma?
|
|
[29] lorantfy | 2003-12-05 23:14:06 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Elnézést! Az előbbi hozzászólás rossz témába tettem!
|
|
[28] lorantfy | 2003-12-05 23:07:00 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Péter, Károly és Fórumosok!
Azt hiszem a feladat szövegéből (az 5-ből 3 sapkásról van szó!) nem derült ki, hogy a börtönigazgató véletlenszerűen választ-e a sapkák közül, vagy a 7 féle minta valamelyike szerint rak fel 3-at a fejekre. (Hajlok rá, hogy ha nagy sorozatban játszaná ezt a játékot Péternek lenne igaza, hacsak nincs egy kis naptárja, amibe be van jegyezve aznap melyik mintát teszi fel a 7 közül.)
Így azt hiszem Károlynak megadhatjuk a megoldási útmutató szerinti, maximális 3-3 pontot. Péter pedig dícséretet kap "értékes megjegyzéséért"! :-)
Legközelebb beleírom az igazgató monológjába: "Most becsukott szemmel választok 3 sapkát az 5 közül, és véletlenszerűen teszem fel a fejetekre." - ,hogy pontos legyen a szöveg. (Így meg túl tudálékos lesz.)
Namost aki csak utólag olvassa a megoldást, azért érdemes átgondolni a poént. Akinek látszólag legkevesebb információja van a sapkákról - az 1. rab - annak legvalószinűbb a szabadulása. Tehát ebben az esetben, ha nincs információ (nem szólnak a hátam mögötti rabok) az is információ.
|
Előzmény: [24] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:29:34 |
|
|
[26] nadorp | 2003-12-05 09:11:23 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Kedves Péter!
Megoldás a 8. feladatra (remélem nem számoltam el)
f(x)=x2n(x+1)2+2x2n-2(x+1)2+3x2n-4(x+1)2+...+n(x+1)2+n+1=(x+1)2g(x)+n+1
Mivel g(x)>0, ezért f(x)>=n+1, egyenlőség n=-1 esetén van
|
Előzmény: [23] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:24:55 |
|
[25] lorantfy | 2003-12-04 22:36:37 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Suhanc!
Kösz a megoldást! Ez neked tényleg csak ujjgyakorlat volt.
7.b feladat: Mely egész x,y,z számokra teljesül:
8x2+3y2+6z2+7xy+5yz+x(4+z)+z(4+x)+4=0
Kis nehezítés – Próbálkozzon más is!
(Egy OKTV feladat alapján)
|
Előzmény: [22] Suhanc, 2003-12-04 21:40:43 |
|
[24] Pach Péter Pál | 2003-12-04 22:29:34 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/82/0_TS2r.jpg) Igazad van, így tényleg egyszerűbb. :-) De lehet, hogy ha a kilencedikesek a szögfüggvényeket sem ismerik, akkor még a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel sem volt dolguk. :-)
Persze át lehet írni olyan formára, ahol csak azt használjuk, hogy 0 x2, de így a CSB-egyenlőtlenségnek éppen azt a tulajdonságát veszítjük el, ami alapján könnyen észre lehet venni a megoldást.
Maga a megoldás természetesen gyors és korrekt. :-)
|
Előzmény: [19] Kós Géza, 2003-12-04 14:11:14 |
|
[23] Pach Péter Pál | 2003-12-04 22:24:55 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/82/0_TS2r.jpg) Kedves László!
A körülírás alapján azt hittem, hogy az 1993./3. feladatról van szó.
8. feladat
Legyen n adott pozitív egész szám. Határozzuk meg a valós számokon értelmezett
f(x)=x2n+2x2n-1+3x2n-2+…+(2n+1-k)xk+…+2nx+2n+1
polinom minimumát.
|
Előzmény: [20] lorantfy, 2003-12-04 15:45:19 |
|
[22] Suhanc | 2003-12-04 21:40:43 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/111/7_l5u8.jpg) A teljes négyzetek:
(a-b/2)2+(c-1)2+3/4*(b-2)2<=0
Nyilván c=1, b=2 a=1
|
|
[21] lorantfy | 2003-12-04 20:15:31 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) 7. feladat:
Mely egész a, b, c, számokra igaz:
a2+b2+c2+4 ab+3b+2c
(1965. évi Kürschák példa alapján)
|
|
[20] lorantfy | 2003-12-04 15:45:19 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Az 5. feladatnál: Ha valaki persze nem akar nagyon trükközni, emelje csak négyzetre mindkét oldalt (ha a bal oldal negatív az egyenlőtlenség úgyis igaz) és alakítsa teljes négyzetté:
9x2+24xy+16y2 25x2+25y2
0 16x2-24xy+9y2
0 (4x-3y)2
Láttam én már olyan Kürschák feladatot, ahol a megoldáshoz semmi más nem kellett csak ügyesen teljes négyzetekké alakítani.(Előkeresem!)
|
Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32 |
|
[19] Kós Géza | 2003-12-04 14:11:14 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3/4_q8Fa66CY.jpg) Lényegében ugyanaz, de talán kicsit egyszerűbb megtalálni a megoldást Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel:
![\big(3x+4\sqrt{1-x^2}\big)^2\le\big(3^2+4^2)\bigg(x^2+\sqrt{1-x^2}^2\bigg)=25.](keplet.cgi?k=3963096DFCC45645)
Egyenlőség akkor áll, ha .
Azzal maximálisan egyetértek, hogy az ilyen trükköket hasznos megtanulni és begyakorolni.
|
Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48 |
|
[18] lorantfy | 2003-12-04 14:09:36 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Nádor P.!
Nagyon gyors voltál és persze nagyon ügyes!
Most aztán megoldásod alapján rögtön általánosíthatjuk is a feladatot:
6.feladat:
Legyenek a,b,c egy derékszögű háromszög oldalai.
Bbh. .
(Más módszerrel oldjuk meg!)
|
Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32 |
|
[17] nadorp | 2003-12-04 13:36:32 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Megoldás az 5. feladatra.
Legyenek p és q pozitív egész számok, melyek értékét majd később adjuk meg. Ekkor a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés miatt
Ebből
Látszik, hogy a p=9 q=16 választással épp a kívánt egynelőtlenséget kapjuk.
|
Előzmény: [15] lorantfy, 2003-12-04 13:01:55 |
|
[16] Hajba Károly | 2003-12-04 13:25:06 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/53/0_ZtXg.jpg) Kedves László!
Én a geometria oldaláról közelítve találtam egy "csűrcsavarta" megoldást.
A maximumhely X koordinátájának keresésekor nem számít, ha az egész függvényt elosztom 4-gyel. Így egy origón átmenő, 0,75 meredekségű egyenes és origó központú egység sugarú kör összegét kapjuk.
Torzítsuk el képzeletben a körív minden pontját úgy, hogy az egyenes és X tengely közötti távolsággal távolítsuk az X tengelytől el. Ez a függvény képe és egyben egy ellipszis is. Szerkesszük meg a kőr és a hozzá tartozó ellipszis pontokhoz illesztett, összetartozó érintőket. Ezen érintők az Y tengelyen metszik egymást, mivel ott az eltolás 0. Az ellipszis maximumhelyéhez tartozó érintő párhuzamos az X tengellyel. Könnyen belátható, hogy e két érintő által bezárt szög , így a kör ezen érintőpontját az eredeti egyenes y=x tengelyre történő tükrözött egyenessel képzett metszéspont adja.
Ezt visszatéve a függvényekre, a megoldást a kör és az egyenes inverzének metszéspontja adja.
Ennek eredménye éppen
HK
|
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/d3/ec/42/24f2505ed4a43ca9d4fcba489d-53.jpg) |
Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14 |
|
[15] lorantfy | 2003-12-04 13:01:55 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Na ez már igen!
Kedves Péter!
Köszönöm a megoldást!
Érdemes a "közepek" közötti összefüggéseket jól begyakorolni, mert versenyfeladatoknál és néha-néha még KÖMAL feladatokban is nagy hasznát vehetjük!
Akkor próbálkozzatok ezzel:
5.feladat Bbh. ![\frac{3x+4y}{5}\leq \sqrt{x^2+y^2}](keplet.cgi?k=917716F68E1D6207)
|
Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48 |
|
[14] Pach Péter Pál | 2003-12-04 11:06:48 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/82/0_TS2r.jpg) Megoldás a 4. feladatra
Írjuk fel a számtani és a négyzetes közepek közti egyenlőtlenséget 9 darab -ra és 16 darab -re:
![\frac{9\cdot\frac{x}{3}+16\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}}{25}\le\sqrt{\frac{9\cdot\left(\frac{x}{3}\right)^2+16\cdot\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}\right)^2}{25}}](keplet.cgi?k=3E8C6D896A5AF150)
Mindkét oldalt egyszerűbb alakra hozva:
![\frac{3x+4\sqrt{1-x^2}}{25}\le\frac15](keplet.cgi?k=F37CB4332B41B66B)
![3x+4\sqrt{1-x^2}\le5](keplet.cgi?k=0F3EA54EB38BE357)
Így a kifejezés maximuma 5, amit pontosan akkor vesz fel, ha , azaz, ha .
|
Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14 |
|
[13] lorantfy | 2003-12-04 00:16:58 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Attila!
Szép a megoldás. Köszönet érte!
-ből adja magát ez a helyettesítés, de sajnos a 9-edikesek még nem tanulták matekból a szögfgv-ket. Kérdés a tankönyvírók hogy gondolták a megoldást? Hátha valakinek van még más ötlete.
|
Előzmény: [12] evilcman, 2003-12-03 22:47:58 |
|
[12] evilcman | 2003-12-03 22:47:58 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) 4. megoldás:
kikötés: 1>=x>=-1
ha ez az intervallum, akkor x-et helyettesíthetjük sin ( ) -val
így-ha A a maximuma a függvénynek:
A=3sin ( )+4cos ( )
elosztjuk mindket oldalt 5-tel
legyen ezért
így addíciós képlettel:
a sinus függvénynek a maximuma 1, vagyis az eredeti függvény maximuma 5
Innen pedig már ki lehet számolni x-et, az eredeti egyenlet egyetlen gyöke 3/5.
|
|
[11] lorantfy | 2003-12-03 18:28:14 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) 4.feladat: Keressük a maximum helyét és értékét, de semmi deriválás, kilencedikesek vagyunk!
![f(x)=3x+4 \sqrt{1-x^2}](keplet.cgi?k=5113A60A3C9C750E)
(Sokszínű Matek 9-ből van!)
|
|
|
[9] lorantfy | 2003-12-02 14:11:11 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Fórumosok!
Nézzetek be ide is mert kihal a téma!
![C= \frac {5^{lg20}}{20^{lg5}}=?](keplet.cgi?k=FA948CD40D8C8525)
|
|
[8] Suhanc | 2003-11-27 18:03:42 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/111/7_l5u8.jpg) Igen, tényleg elírtam! Nem szerencsés:(
|
|