|
[3431] Róbert Gida | 2011-02-18 16:31:25 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/1047/0_C27B.jpg) f(x,0)=g(x)h(0) és f(0,y)=g(0)h(y), innen, ha teljesül a feltétel és g(0)h(0) 0, akkor , azaz f(x,y)=Cf(x,0)f(0,y), ahol C konstans. Megfordítva, ha ez utóbbi feltétel teljesül, akkor van alkalmas g,h függvényünk: g(x)=Cf(x,0) és h(y)=f(0,y)
|
Előzmény: [3428] Lóczi Lajos, 2011-02-12 04:02:26 |
|
|
|
[3428] Lóczi Lajos | 2011-02-12 04:02:26 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) Adjunk (minél egyszerűbb és jól kezelhető) feltételt arra nézve, hogy egy f kétváltozós függvény mikor áll elő f(x,y)=g(x)h(y) alakban, alkalmas egyváltozós g és h függvényekkel.
|
|
[3427] jonas | 2011-01-26 21:43:17 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/396/3_nsJ9.jpg) Az 513. feladathoz először lássunk be egy rekurziót az U mátrix elemeire. Ez a C mátrixnál segített, tehát gondolhatjuk, hogy itt is beválik. Az összefüggés az lesz, hogy
un+1,k=2un,k-1-un-1,k
feltéve, hogy 1 k. A k=0 esetre egyszerűen un+1,k=un-1,k. Ez egyszerűen abból következik, hogy a másodfajú Csebisev-polinomokra igaz a következő rekurzió.
Un+1(x)=2xUn(x)-Un-1(x)
Lássuk be ez utóbbit. Helyettesítsünk be x=cos -t. (Hogy így esetleg nem minden x kapható meg, az lényegtelen, mert mindkét oldal polinom, tehát elég csak egy intervallumon belátni, hogy egyenlők.) Szorozzuk meg mindkét oldalt sin -val. Így a következő azonosságot kell belátnunk.
sin ((n+2) )=2cos sin ((n+1) )-sin (n )
Ehhez pedig csak használjuk a sin ( + )=sin cos +sin cos képletet. Valóban:
sin ((n+2) )=cos (2 )sin (n )+sin (2 )cos (n )=(-1+2cos2 )sin (n )+2sin cos cos (n )=
=2cos (sin cos (n )+cos sin (n ))-sin (n )=2cos sin ((n+1) )-sin (n ).
Innen már megpróbálhatjátok ti kitalálni az 513. bizonyítását – az eredményt megsejteni könnyű, csak ki kell számolni kis értékekre.
|
Előzmény: [3368] jonas, 2010-11-23 22:19:07 |
|
[3426] jonas | 2011-01-24 20:13:24 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/396/3_nsJ9.jpg) Akkor PAL érdeklődésére tekintettel nézzük meg ezeket a feladatokat.
Kezdjük az 512. feladattal. Stray dog már elárulta a megoldást: a determináns 1. Ezt nem is nehéz belátni: detH=det(CCT)=(detC)2. Csakhogy C háromszögmátrix, mivel ha 0 n<k, akkor n-k<0 és n-k-2<0, így
![\binom{n}{(n-k)/2} = \binom{n}{(n-k-2)/2} = 0,](keplet.cgi?k=B0FD11907C193840)
tehát a C mátrix főátló fölötti elemei valóban nullák. Hasonlóan, ha 0 n=k, akkor
![\binom{n}{(n-k)/2} = \binom{n}{0} = 1,](keplet.cgi?k=56F11F016685B50F)
viszont
![\binom{n}{(n-k-2)/2} = \binom{n}{-1} = 0,](keplet.cgi?k=1EF20D5015F36D96)
így hát cn,k=1, tehát a mátrix főátlójában egyesek állnak. Ebből aztán detC=1 tehát valóban detC=1.
Mindezt persze akkor lehet könnyen megsejteni, ha előbb valamilyen kis N méretre konkrétan kiszámoljuk a mátrixot. Például ha N=12, akkor
![{\bf C} = \left(\matrix{
1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
0&2&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\cr
2&0&3&0&1&0&0&0&0&0&0&0\cr
0&5&0&4&0&1&0&0&0&0&0&0\cr
5&0&9&0&5&0&1&0&0&0&0&0\cr
0&14&0&14&0&6&0&1&0&0&0&0\cr
14&0&28&0&20&0&7&0&1&0&0&0\cr
0&42&0&48&0&27&0&8&0&1&0&0\cr
42&0&90&0&75&0&35&0&9&0&1&0\cr
0&132&0&165&0&110&0&44&0&10&0&1
}\right);](keplet.cgi?k=1F40CD7EB33F3F94)
![{\bf H} = \left(\matrix{
1&0&1&0&2&0&5&0&14&0&42&0\cr
0&1&0&2&0&5&0&14&0&42&0&132\cr
1&0&2&0&5&0&14&0&42&0&132&0\cr
0&2&0&5&0&14&0&42&0&132&0&429\cr
2&0&5&0&14&0&42&0&132&0&429&0\cr
0&5&0&14&0&42&0&132&0&429&0&1430\cr
5&0&14&0&42&0&132&0&429&0&1430&0\cr
0&14&0&42&0&132&0&429&0&1430&0&4862\cr
14&0&42&0&132&0&429&0&1430&0&4862&0\cr
0&42&0&132&0&429&0&1430&0&4862&0&16796\cr
42&0&132&0&429&0&1430&0&4862&0&16796&0\cr
0&132&0&429&0&1430&0&4862&0&16796&0&58786\cr
}\right).](keplet.cgi?k=1FC26DE7970F43A1)
Most nézzük az 511. feladatot. Erre van egy nagyon érdekes kombinatorikus bizonyítás.
Először lássunk be egy rekurziót a C mátrix elemeire. Vegyük észre, hogy ha 0 n és 0<k, akkor cn+1,k=cn,k-1+cn,k+1; ha pedig 0 n, akkor cn+1,0=cn,1. Szóban ez azt jelenti, hogy a mátrixban minden elem a fölötte balra lévő és a fölötte jobbra lévő elem összege, de ha nincs fölötte balra lévő elem, akkor egyszerűen a fölötte jobbra lévő elemmel egyenlő.
Azt, hogy ez a rekurzió igaz, nem nehéz belátni, egyszerűen be kell írni a definíciót. Nézzük először az első esetet: legyen 0 n és 0<k. Ha n-k páratlan, akkor
![c_{n+1,k} = \binom{n+1}{(n-k+1)/2} - \binom{n+1}{(n-k-1)/2} =](keplet.cgi?k=CC5149F43A97C4B1)
![= \left(\binom{n}{(n+k+1)/2} + \binom{n}{(n+k+1)/2-1}\right) -
\left(\binom{n}{(n+k-1)/2} + \binom{n}{(n+k-1)/2-1}\right) =](keplet.cgi?k=D2C774A98A959940)
![= \left(\binom{n}{(n+k-1)/2} - \binom{n}{(n+k-3)/2}\right) + \left(\binom{n}{(n+k+1)/2} - \binom{n}{(n+k-1)/2}\right) =
c_{n,k-1} + c_{n,k+1};](keplet.cgi?k=779753DB5125B4DB)
ha viszont n-k páros, akkor cn+1,k=0=cn,k-1+cn,k+1. A második esetben, ha 0 n, akkor
![c_{n+1,0} =
\binom{n+1}{(n+1)/2} - \binom{n+1}{(n-1)/2} =](keplet.cgi?k=83615D5C09CEFD54)
![= \left(\binom{n}{(n+1)/2} - \binom{n}{(n+1)/2-1}\right) +
\left(\binom{n}{(n-1)/2} - \binom{n}{(n-1)/2-1}\right) =](keplet.cgi?k=DC0025CA22692F90)
![= \binom{n}{(n+1)/2} - \binom{n}{(n-3)/2} =
\binom{n}{(n-1)/2} - \binom{n}{(n-3)/2} =
c_{n, 1}](keplet.cgi?k=A943FBE072C518C1)
(Egy kis csalás van itt: szó szerint ennek a szabálynak a mátrix jobb szélén nincs értelme, de szerencsére tekinthetjük a mátrixot a végtelen nagy mátrix sarkának, úgyhogy igazából nincs probléma.)
Most a meglepő észrevétel az, hogy a C mátrix elemeinek kombinatorikai jelentést lehet tulajdonítani. A cn,k elem ugyanis pontosan azt számolja le, hányféleképpen lehet n lépést tenni a számegyenesen az origóból úgy, hogy minden lépésben egyet balra vagy egyet jobbra lépünk, nem lépünk rá a negatív félegyenesre, és a végén a k-ba érkezünk. Azt, hogy valóban ezt számoljuk le, nem nehéz látni a fenti rekurzió alapján.
Vegyük most szemügyre ezt a képletet, ami szerepelt a kitűzésben: ha 0 m,n akkor
![h_{m,n} = \sum_{0\le k} c_{m,k}c_{n,k}.](keplet.cgi?k=DB0A582A2FAC9E10)
Azt állítom, hogy hm,n éppen azt számolja le, hányféleképpen lehet a számegyenesen m+n lépés hosszú sétát tenni úgy, hogy az origóból indulunk és oda is érünk vissza, minden lépésben eggyel jobbra vagy eggyel balra lépünk, és sose lépünk a negatív félegyenesre. Valóban, legyen ugyanis k az a szám, ahol az m-edik lépésben lépünk. Ekkor az első m lépés cm,k féle lehet a c fent megadott értelmezése szerint. Másrészt az utolsó n lépés éppen cn,k féle lehet, mert ha ezt az utolsó n lépést visszafele játsszuk le, akkor az origóból indulunk, és a végén érünk a k-ba. Az is látható, hogy az első m és az utolsó n lépést egymástól függetlenül választhatjuk meg akárhogyan, ha már k értékét rögzítettük, minden lehetőséghez tartozik pontosan egy m+n lépéses séta. Így megkaptuk, hogy hm,n egyenlő az m+n hosszú, origóba érkező séták számával, ami tényel m+n függvénye.
Az 513. feladatot egyelőre nem lövöm le.
|
Előzmény: [3368] jonas, 2010-11-23 22:19:07 |
|
[3425] m2mm | 2011-01-23 17:01:59 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) 523. feladat Egy egész együtthatós, normált polinom minden(komplex) gyökének abszolút értéke 1. Biz.: gyökei egységgyökök.
|
|
[3424] PAL | 2011-01-21 19:48:57 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3095/3_qFq7IluW.jpg) Kedves Tamás!
Remélem nem haragszol, hogy csatlakozom, de örömmel látom a feladatod, mert örülök annak, hogy téged is érdekelnek az efféle témák, az utóbbi hozzászólásokban kezd népszerű lenni ez a sin(nx) kifejtős téma, mely valahogy az én kedvencemmé is vált az utóbbi időben, ezért én is kiváncsian várom kitűzött feladatodra érkező megoldásokat.
|
Előzmény: [3423] D. Tamás, 2011-01-21 19:20:26 |
|
[3423] D. Tamás | 2011-01-21 19:20:26 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) 522.feladat: Határozzuk meg azokat a pozitív egész n számokat, melyre sin (nx) felírható sin (x) polinomjaként!
Gondolom felsőbbéveseknek közismert ez a feladat, de én nemrég találkoztam egy feladat kapcsán ezzel a gyönyörűséggel. (Persze ha valaki komoly "fegyverekkel" rendelkezik pillanatok alatt kijön a megoldás.)
|
|
|
[3421] lorantfy | 2011-01-15 21:03:57 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) 520.feladat: Egy 24 órás, szokásos irányban járó és egy 12 órás, fordított számlapos, visszafelé járó falióra egymás mellett függenek. Mindkettő pontosan jár. A két órát egyszerre indítva nulla óráról mennyi idő múlva lesznek az órák percmutatói és óramutatói is párhuzamosak egymással és mennyi idő múlva lesznek merőlegesek egymásra?
|
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/a5/1e/1e/aadfabcfb6561c711b254f86df-5.jpg) |
|
|
[3419] Róbert Gida | 2011-01-07 17:45:06 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/1047/0_C27B.jpg) Persze, akár én is írhatnék egy ilyen programot ami úgy számolja ki, ahogy te szeretnéd. A szebb az lenne, ha már egy létező compteralgebra program is így számolná ki.
A ^ és ! műveleti sorrendje meg programfüggőnek tűnik, ahogy írtam a PARI-GP-nél és a Maple-nél például különböző.
|
Előzmény: [3418] patba, 2011-01-07 17:21:26 |
|
[3418] patba | 2011-01-07 17:21:26 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Ha mindkét program egy-egy sajátosságát(nincs multifaktoriális és hatvány nem alsóbbrendűbb, mint a faktor) felhasználva készítünk egy programot, az úgy fogja kiszámolni. Nem tudom, hogy létezik-e jelenleg ilyen program, de semmi sem zárja ki.
Viszont akkor a faktoriális, vagy a hatvány élvez előnyt műveleti sorrend szerint? Ez most már nem világos számomra.
|
Előzmény: [3417] Róbert Gida, 2011-01-07 16:48:13 |
|
[3417] Róbert Gida | 2011-01-07 16:48:13 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/1047/0_C27B.jpg) Igen, de nálunk több faktoriális is van, például 22!!!-et három különböző programmal néztem meg, és egyik sem adja meg a (24!)! értéket, így egyik sem számol úgy ahogy azt te szeretnéd.
A probléma hasonló ahhoz, hogy abc kifejezést hogyan értékeljük ki: ä(bc) vagy (ab)c ként.
|
Előzmény: [3416] patba, 2011-01-07 15:28:49 |
|
[3416] patba | 2011-01-07 15:28:49 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Leírtad egy hozzászólásban (jó gúnyosan), hogy a Mapple a hatványozást magasabb rendű műveletként kezeli, mint a faktoriálist, és neked csak és kizárólag egy program által igazolt összefüggés elfogadható ilyen téren.
Vagy most mire gondolsz?
|
Előzmény: [3415] Róbert Gida, 2011-01-07 13:41:00 |
|
[3415] Róbert Gida | 2011-01-07 13:41:00 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/1047/0_C27B.jpg) Úgy látszik, hogy a műveleti sorrend (precedencia) csak nekem fontos.
Azt azért megkérdezhetem, hogy ezt manapság nem tanítják ált. iskolákban, gimnáziumokban? +,*-ra gondolok most.
|
Előzmény: [3407] patba, 2010-12-31 13:16:22 |
|
[3414] djuice | 2011-01-02 00:57:23 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/4456/2_h3bv.jpg) Besz@rok! :) Nem tudom elképzelni mit tököltem ezen fél órákat a felírással, hisz csak a mérleg elvet kell alkalmazni a feladat szövegének megfelelően. Mindegy, már megint bebizonyosodott, hogy mindig a bonyolultabbik oldalról közelítem a pofon egyszerű dolgokat. :)
(próbálkozva vmi ilyesmiket akartam felírni I. A-B=2; II. 2AB-B=0 persze hogy nem jó!)
Köszönöm szépen amúgy, már muszáj lesz vmi. tanárt fogadni magam mellé is. :)
|
Előzmény: [3411] Nánási József, 2011-01-01 11:11:39 |
|
[3413] Füge | 2011-01-01 22:09:54 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) n 22 esetén 9n<n! ezért én is a 99!!!!!!!!-re szavazok
|
|
|
[3411] Nánási József | 2011-01-01 11:11:39 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3266/0_jOtE.jpg) Ha jól értem, egyenleteket akarsz?
Legyen x fiókunk.
Akkor az első esetbe a könyvek száma y=x+2
Második esetben pedig a könyvek száma y=2x-1
Ebből jön, hogy x=3 y=5
3 fiók és 5 könyv
bocsánat ha félre értettem a kérdésed.
|
Előzmény: [3410] djuice, 2011-01-01 01:55:15 |
|
[3410] djuice | 2011-01-01 01:55:15 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/4456/2_h3bv.jpg) Elnézést hogy ilyen gyermeteg feladvánnyal zavarok, de miközben fejben találgatva fél perc alatt rá lehet jönni a megoldásra, addig egyenletekkel felírni nekem nem sikerült az alábbi feladatot. :( (haverom 2.-os középsulis öccsének van feladva háziként!)
"Pista könyveit pakolja. Ha 1 könyvet 1 fiókba rak el, 2 könyvének már nem jut hely. Ha 1 fiókba 2 könyvet tesz, az utolsó fiókban már csak 1 könyv lesz. Hány könyve van Pistának?"
Első verzióra A-B=2 alakot tudtam felírni, de a 2. esetet sehogy sem tudjuk felírni. Igazából az érdekelne, miként kell gondolkodni a helyes felírást illetőleg?
Köszönöm!
|
|
[3407] patba | 2010-12-31 13:16:22 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Igen, mert akkor a ! a kitevőbe kerül be. Ha nem a kitevőbe rakod, akkor 8!-nak kéne, hogy értelmezze. Megint oda jutottunk, ahol az előbb voltunk. Programnak ahhoz, hogy ne a kitevőben legyen, kell zárójel, kézírásban nem.
|
Előzmény: [3403] robertgidatestvere, 2010-12-31 12:37:34 |
|
[3406] robertgidatestvere | 2010-12-31 12:52:39 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Igen, de nem az volt a kérdés, hogy te mit csinálsz a gépeden, van aki beszél a számítógéphez, és egy hangfelismerő program írja a szöveget a képernyőre.
A precedencia pedig igenis fontos, számomra egy program bizonyítja egyértelműen, hogy az a precedencia amit kívánsz az tényleg igaz. 2+3*4-et egy matekprogram sem fog 20-ként kiértékelni.
|
Előzmény: [3404] patba, 2010-12-31 12:43:32 |
|