Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[883] w2014-06-24 10:26:26

Igen, tényleg, de szerintem érdekes átfogalmazás. :)

Az előbbi feladatom megoldását valaki lelőné?

Előzmény: [882] HoA, 2014-06-23 16:18:40
[882] HoA2014-06-23 16:18:40

Egy igazi ujjgyakorlat: Igazoljuk, hogy a Geometria téma [1845] -ben kitűzött feladat egyenértékű a B 4639. KöMaL feladattal.

[881] HoA2014-06-19 20:14:32

Ujjgyakorlatnak kicsit erősnek vélem.

Előzmény: [877] w, 2014-06-11 22:58:23
[880] w2014-06-19 00:05:13

A Fermat-számoshoz képest a relatív prímséget igazoló utolsó lépés kicsit összetettebb (és szebb is).

Előzmény: [879] jonas, 2014-06-18 22:45:01
[879] jonas2014-06-18 22:45:01

Ezt a feladatot ismerem az &tex;\displaystyle a = 2 &xet; esetben, és tetszik. Más &tex;\displaystyle a &xet;-ra még nem gondolkodtam el rajta, de szerintem ugyanaz a bizonyítás megy.

Előzmény: [877] w, 2014-06-11 22:58:23
[878] csábos2014-06-12 21:41:02

Aranyos feladat, várom az elemi megoldást.

Előzmény: [876] emm, 2014-06-01 01:16:28
[877] w2014-06-11 22:58:23

Legyen &tex;\displaystyle a>1&xet; adott egész szám, és legyen

&tex;\displaystyle a_n=\frac{a^{a^{n+1}}-1}{a^{a^n}-1}.&xet;

Bizonyítsuk be, hogy az &tex;\displaystyle (a_n)_{n=1,2,\dots}&xet; sorozat tagjai páronként relatív prímek.

[876] emm2014-06-01 01:16:28

Ha viszont feltesszük, hogy folytonos a függvény &tex;\displaystyle [0,2e]&xet;-n, akkor már igaz. Lagrange-féle középértéktétellel: &tex;\displaystyle \exists \xi_1\in (0,e),\xi_2\in(e,2e)&xet;:

&tex;\displaystyle 0<f'(\xi_1)=\frac{f(e)-f(0)}{e-0}\implies f(e)=f(0)+ef'(\xi_1)&xet;(1)
&tex;\displaystyle 0<f'(\xi_2)=\frac{f(2e)-f(e)}{2e-e}\implies f(2e)=f(e)+ef'(\xi_2)&xet;(2)

&tex;\displaystyle (1)&xet; és &tex;\displaystyle (2)&xet; összevetéséből:

&tex;\displaystyle f(2e)-f(0)=e(f'(\xi_1)+f'(\xi_2))>0&xet;

Előzmény: [875] Lóczi Lajos, 2014-05-30 20:27:09
[875] Lóczi Lajos2014-05-30 20:27:09

Igen, én is ugyanerre gondoltam.

Előzmény: [874] emm, 2014-05-30 17:00:23
[874] emm2014-05-30 17:00:23

Ellenpélda: &tex;\displaystyle \frac{1}{e-x}&xet;, ha &tex;\displaystyle x\neq e&xet;, és &tex;\displaystyle 0&xet; különben. &tex;\displaystyle f(0)>0>f(2e)&xet;.

Előzmény: [873] Lóczi Lajos, 2014-05-29 11:07:35
[873] Lóczi Lajos2014-05-29 11:07:35

Legyen &tex;\displaystyle f&xet; egy olyan valós függvény, amely a &tex;\displaystyle (0,2e)&xet; intervallumon van értelmezve. Azt is tudjuk, hogy &tex;\displaystyle f'(x)>0&xet; minden &tex;\displaystyle x\in (0,2e)\setminus \{e\}&xet; esetén. Bizonyítsuk be, hogy ekkor &tex;\displaystyle f(0)<f(2e)&xet;.

[872] koma2013-12-27 18:12:58

köszönöm szépen a válaszokat:)

[871] nadorp2013-12-27 10:17:16

Te voltál a gyorsabb :-)

Előzmény: [869] Ménkűnagy Bundáskutya, 2013-12-27 10:12:24
[870] nadorp2013-12-27 10:16:38

A térfogat tetszőlegesen kicsi lehet. Legyen a három él x,x és 45-2x, ahol x-et később választjuk meg. Ekkor a térfogatra

V=x^2(45-2x)=\frac x2\cdot2x(45-2x)\leq \frac x2\frac{45^2}4=\frac{45^2}8x

Innen látszik, hogy ha x elég kicsi, akkor a térfogat is kicsi, azaz a térfogatnak nem elfajuló téglatest esetében nincs minimuma, de tetszőlegesen közel lehet 0-hoz.

Előzmény: [868] koma, 2013-12-27 09:52:30
[869] Ménkűnagy Bundáskutya2013-12-27 10:12:24

Ha a téglalapot elfogadod lapos téglatestnek, akkor a,45-a,0 (0\leqa\leq45) élekkel 0 a minimális térfogat. Ha nem, akkor nincs minimális térfogat: a,a,45-2a (0<a<22,5) élekkel a térfogat tetszőlegesen kicsi pozitív lehet (amint a mondjuk nagyon közel van 0-hoz).

Előzmény: [868] koma, 2013-12-27 09:52:30
[868] koma2013-12-27 09:52:30

Sziasztok,

Egy téglatest egy csúcsából kiinduló éleinek összege 45 cm. Mekkora lehet legfeljebb a téglatest térfogata?

Ez számomra világos AM-GM-el egyszerűen oldható.

Viszont a minimális térfogatot hogyan tudnám meghatározni? Ezt nem látom jelenleg.

Kellemes ünnepeket mindenkinek!

[867] w2013-10-30 19:44:47

Nem, én kérek bocsánatot, nem figyeltem. :-)

Így már világos.

Előzmény: [866] csábos, 2013-10-30 17:46:30
[866] csábos2013-10-30 17:46:30

Bocsánat, ez 847-re volt válasz.

Előzmény: [857] w, 2013-10-25 18:19:41
[865] w2013-10-29 19:29:11

Igen. Amire eredetileg gondoltam, az lényegében ezt a gondoltatmenetet csomagolja be, és egyáltalán nem induktív.

Legyen \epsilon harmadik komplex egységgyök, azaz \epsilon=\cos\frac{2\pi}{3}+i\cdot\sin\frac{2\pi}3(=e^{2i\pi/3}). Most csak annyira lesz szükségünk, hogy létezik olyan \epsilon szám, melyre \epsilon2+\epsilon+1=0.

Jelöljük fk(n)-nel azon n-jegyű pozitív egészek számát, amelyek k maradékot adnak 3-mal osztva. Ekkor mivel nyilván \epsilon3=1, ezért \epsilona=\epsilona+3b tetszőleges a,b egész számokra. Emiatt meggondolhatjuk, hogy

\sum_{k=0}^2 f_k(n)\epsilon^k=\sum_{x_1,\dots,x_n\in\{2,3,7,9\}}\epsilon^{x_1+x_2+\dots+x_n}.

Utóbbi összeg viszont nyilván nem más, mint (\epsilon2+\epsilon3+\epsilon7+\epsilon9)n, ahol \epsilon2+\epsilon3+\epsilon7+\epsilon9=\epsilon2+1+\epsilon+1=1. Vagyis

f0(n)+f1(n)\epsilon+f2(n)\epsilon2-1=0.

Ez egy \epsilon-ban másodfokú egyenlet; megoldásai: \epsilon és \epsilon2. Viszont x2+x+1 is olyan másodfokú polinom, melynek gyökei \epsilon és \epsilon2, ezért a két szóban forgó polinom igazából egymás többszöröse. Ebből adódik, hogy f0(n)-1=f1(n)=f2(n), ahol viszont f0(n)+f1(n)+f2(n)=4n, ezért f_0(n)=\frac{4^n+2}{3}.

-

A fent leírt módszer általánosabb feladatok megoldására is alkalmas: például keressük meg, hány n-jegyű számnak lesznek a számjegyei 1,3,4,5,6,9 kozüliek, és 7-tel oszthatók.

Egy másik gyakorló feladat például a következő. Hány p-elemű részhalmaza van az {1,2,...,2p} halmaznak, melynek elemeinek összege p-vel osztható, ahol p páratlan prímszám?

(De ezek már tényleg nem ujjgyakorlatok.)

Előzmény: [863] Róbert Gida, 2013-10-28 17:50:03
[864] nadorp2013-10-28 19:35:23

Elegáns

Előzmény: [863] Róbert Gida, 2013-10-28 17:50:03
[863] Róbert Gida2013-10-28 17:50:03

Elmondom kevesebb betűvel: legyen a(n) azon n jegyűek száma melyek oszthatóak 3-mal és csak a 2,3,7,9 jegyeket tartalmazzák. Mivel 2,3,7 teljes maradékrendszer mod 3, ezért tetszőleges n-1 hosszú szám pontosan egyféleképpen egészíthető ki a 2,3,7 jegyekkel, hogy osztható legyen 3-mal, ez ad 4n-1 lehetőséget. Ha 9-cel is ki tudjuk egészíteni, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy már az n-1 hosszú szám is osztható volt 3-mal, azaz írhatjuk: a(n)=a(n-1)+4n-1 és triviálisan a(1)=2, innen (mértani sorozat miatt): a(n)=\frac{4^n+2}{3}.

Előzmény: [859] nadorp, 2013-10-28 11:05:14
[862] nadorp2013-10-28 14:34:22

Vagy [855] :-)

Előzmény: [861] nadorp, 2013-10-28 14:33:49
[861] nadorp2013-10-28 14:33:49

Igen, elnéztem. A [255] hozzászólásra válaszoltam.

Előzmény: [860] HoA, 2013-10-28 13:30:41
[860] HoA2013-10-28 13:30:41

Melyik feladatról is van szó? A hivatkozási láncot követve [859] --> [857] --> [856] --> [846] --> [845] --> [844] a 2013 összegű számok szorzata a téma. [859] pedig mintha [855] megoldása lenne ( {2,3,7,9} jegyeket tartalmazó számok )

Előzmény: [859] nadorp, 2013-10-28 11:05:14
[859] nadorp2013-10-28 11:05:14

Felhasználjuk, hogy egy pozitív egész szám 3-as maradéka megegyezik számjegyei összegének 3-as maradékával. Legyen A(n,k) (k=0,1,2) azon n-jegyű számok halmaza, melyek a 2,3,7,9 számjegyekből állnak és 3-mal osztva k-t adnak maradékul. Legyen továbbá an,k=|A(n,k)|. Vegyük észre, hogy an,1=an,2 teljesül, mert ha x\inA(n,1) és x számjegyeiben kicseréljük a ketteseket hetesre és viszont, akkor A(n,2)-beli számot kapunk és ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű. Másrészt nyilván

an,0+an,1+an,2=4n, azaz az előbbiek szerint

an,0+2an,1=4n(1)

Írjunk fel egy rekurziót aszerint, hogy egy A(n,k)-beli szám utolsó számjegye 2,3,7, vagy 9. Ekkor

an,0=an-1,1+an-1,0+an-1,2+an-1,0=2an-1,0+2an-1,1(2)
an,1=an-1,2+an-1,1+an-1,0+an-1,1=an-1,0+3an-1,1(3)

Véve a (2)-(3) különbséget

an,0-an,1=an-1,0-an-1,1=...=a1,0-a1,1=2-1=1

Tehát felhasználva (1)-et

an,0+2(an,0-1)=4n

a_{n,0}=\frac{4^n+2}3

Előzmény: [857] w, 2013-10-25 18:19:41

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]