[10] Kós Géza | 2003-11-12 14:26:51 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3/4_q8Fa66CY.jpg) Szia Péter,
Köszi a számolást.
Örülök, hogy nem csak egy- vagy kétszemélyes lesz ez a téma. Hívjátok meg Tihamért is. :-)
Létezik Apolloniusz-kört használó elemi megoldás is, amiben semmi számolás sincs, a öszefüggést egy derékszögű háromszögből lehet a végén leolvasni. (Az ilyen megoldásokat jó sport megkeresni.) Sajnos ebben az esetben az elemi megoldás terjedelme sem versenyezhet a deriválással.
|
Előzmény: [9] Pach Péter Pál, 2003-11-11 23:49:12 |
|
[9] Pach Péter Pál | 2003-11-11 23:49:12 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/82/0_TS2r.jpg) Alternatív megoldási lehetőség az első Tom és Jerrys feladatra:
Onnan folytatjuk másképpen, hogy -t szeretnénk maximalizálni. TQ konstans, így nem foglalkozunk vele. Legyen maximuma A:
![\tg\varphi-\frac{p}{\cos\varphi}\le A](keplet.cgi?k=006AEDA91251A16A)
Mivel hegyesszög, ezért cos pozitív, így átszorzás után:
sin -p Acos ![\varphi](kep/tex/varphi.gif)
Innen gyors átalakítás után:
![\frac{1}{\sqrt{1+A^2}}\sin\varphi - \frac{A}{\sqrt{1+A^2}}\cos\varphi \le \frac{p}{\sqrt{1+A^2}}](keplet.cgi?k=E355D3DF10260F6E)
Észrevesszük, hogy a jobboldalon az 1-nek kell állnia, innen A éppen , ugyanis A nyilvánvalóan negatív (legalábbis nem pozitív: p=1 esetén lehet 0 is).
Beírva -t:
![\frac{1}{p}\sin\varphi+\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}\cos\varphi\le 1](keplet.cgi?k=B158B981D1045C11)
Legyen olyan szög, hogy: és teljesüljön. Az addíciós tétel alapján a bizonyítandó egyenlőtlenség valóban teljesül:
![\frac{1}{p}\sin\varphi+\frac{\sqrt{p^2-1}}{p}\cos\varphi=\cos\alpha \sin\varphi+\sin\alpha \cos\varphi=\sin (\alpha +\varphi)\le 1](keplet.cgi?k=7DE240F48D971C7A)
Egyenlőség akkor van, ha + =90o. De , így valóban . Ezzel bizonyítottuk, hogy teljesül a keresett szögre.
Megjegyezzük, hogy csak az 1 p esetet vizsgáltuk. Ha ez nem teljesül, vagyis Jerry gyorsabban úszik, mint Tom fut, akkor Jerry tetszőlegesen nagy előnyre szert tehet.
|
Előzmény: [3] Kós Géza, 2003-11-06 13:36:07 |
|
|
[7] Kós Géza | 2003-11-10 19:19:18 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3/4_q8Fa66CY.jpg) Sajnos tényleg az a természetes, hogy az ember nekiesik és derivál... Szívesebben látnék deriválás nélküli számolást vagy akár elemi geometriai megfontolást, de ezek tényleg tovább tartanak.
A lényeg: az a legjobb , amelyre .
* * *
Jöjjön a második feladat. Ez inkább csak érdekesség, nem lesz rá szükség sem a klasszikus, sem a négyzetes változatban sem.
A medence most negyedsík alakú. Jerry a vízben úszkál, miközben Tom észrevétlenül a partra oson, és ott elfoglal egy általa kiválasztott pontot.
A feladat: találjuk meg azt a p0 számot, amire a következő két állítás igaz.
a) Ha p<p0, akkor Jerrynek van nyerő stratégiája, azaz akárhonnan is indul Tom és akármilyen taktikát is követ, Jerry ki tud úszni a partra úgy, hogy Tom ne kapja el.
b) Ha p p0, akkor Tomnak van nyerő stratégiája, azaz Tom tud olyan kiinduló pontot és olyan taktikát választani, hogy akárhogyan is úszik ki Jerry a partra, Tom elkapja.
|
Előzmény: [4] Rácz Béla, 2003-11-09 02:01:51 |
|
|
[5] Rácz Béla | 2003-11-09 02:06:39 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) > Az A.320-as feladat túl nehéz volt, de azért nem teljesen megoldhatatlan. :-)
Sikerült megoldani????? Akkor ugye meg fog jelenni a novemberi újságban?
|
Előzmény: [1] Kós Géza, 2003-11-06 11:35:37 |
|
[4] Rácz Béla | 2003-11-09 02:01:51 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) (Sajnos nem tudok szépen írni.)
Legyen Q a J-nek a vetületi pontja. Legyen a JQ távolság az egységnyi távolság, illetve Jerry sebessége az egységnyi sebesség.
Ekkor Jerry a JP szakaszt 1/cos(fi) idő alatt teszi meg, ezalatt Tom p/cos(fi) -nyit halad a parton.
TQ + tg(fi) - p/cos(fi)-t szeretnénk maximálni, mert ennyi lesz a két figura távolsága, mikor Jerry partot ér.
Ehhez megdaráljuk a kifejezést: 1/cos2(fi) * (1 - p*sin(fi)). Amíg sin(fi) <= 1/p, a kifejezés nő, utána csökken. Tehát értéke sin(fi) = 1/p-nél maximális, ezt érdemes Jerrynek választania.
|
Előzmény: [3] Kós Géza, 2003-11-06 13:36:07 |
|
[3] Kós Géza | 2003-11-06 13:36:07 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3/4_q8Fa66CY.jpg) Jöjjön hát az első feladat.
Legyen a medence most félsík alakú, és Tom még biztos távolságban, az ábra szerint. Jerry kiválaszt a parton egy P pontot, és elkezd felé úszni. Tom szintén teljes sebességgel rohan. Versenyükben nem csak az számít, hogy ki ér oda előbb, hanem az is számít, hony mennyivel előbb ér oda.
A kérdés tehát: Melyik P pontot válassza Jerry, avagy melyik az a szög, amire az odaéréshez szükséges idők különbsége a legnagyobb? |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/abra/3f/d9/f5/9986f5f9c3c9d8f8d1c3073c84-14.gif) |
|
|
[1] Kós Géza | 2003-11-06 11:35:37 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/3/4_q8Fa66CY.jpg) A tavalyi pontversenyben szerepelt két olyan feladat, amikor a vízben úszkáló egyik szereplőt a parton várja az ellenség, és azt kell megvizsgálni, hogy milyen sebességarányok esetén tud megmenekülni. A könnyebbik változat a B-versenyben jelent meg, a nehezebb változat az A-ban:
A. 320. A négyzet alakú medencében úszkáló Jerry el szeretne menekülni a parton rá leső Tom elől. Tom nem tud úszni, lassabban fut, mint Jerry, viszont p-szer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik. A p szám milyen értékei esetén tud Jerry - Tom tetszőleges stratégiája esetén - megmenekülni?
A feladat klasszikus változatában, amit több könyvben is meg lehet találni, a medence kör alakú. Ez egyszerűbbé teszi a feladatot, mert a vízpart pontjai teljesen egyenértékűek.
Az A.320-as feladat túl nehéz volt, de azért nem teljesen megoldhatatlan. :-) A klasszikus feladat megoldása, vagy legalább a megoldás elolvasása és végiggondolása az A.320. megoldásában sokat segít, Tom és Jerry legjobb stratégiája is nagyon hasonló.
* * *
Itt megbeszélhetnénk a klasszikus feladat, az A.320. és még néhány egyszerűbb változat megoldásának a lépéseit, építőköveit. Én mindig el fogom mondani az aktuális részproblémát, és aki megoldotta, leírhatja a megoldást.
|
|